Признаки существования пределов

Теорема1. Если числовая посл. {а_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема2. Если в некоторой окрестности т. х₀ (или при х®¥) f(х) заключена между 2-я f j(х) и y(х), имеющими одинаковый предел А при х®х₀ (¥), то f(х) также имеет предел А.

9. Первый замечательный предел. Первым замеч. Пределом наз. lim sinx/х = 1

х®0

Рассмотрим круг радиуса R, с центром в т.0. Пусть ОВ – подвижный радиус, образующий с осью 0х угол х, такой что 0<x<п/2.

Площадь треуг. АОВ < площади сектора АОВ, которая в свою очередь < S треуг. АОС. Т.к. S треуг. АОВ = ½ R²sin x; S сект. АОВ = ½ R²х; S треуг. АОС = ½ ОА*АС = ½ R²tgx.

S треуг. АОВ< Sсект. АОВ < S АОС

½ R²sin x < ½ R²х < ½ R²tgx

1 < x/ sinx < 1/ cosx

cosx < sinx/x < 1

Т.к. f cosx и sinx/x четные, то полученные неравенства справедливы и для –п/2 < x < 0

lim cosx = 1

x ®0

lim 1 = 1

x®0 1 £ lim sinx/x £ 1

10. Второй замечательный предел. Рассмотрим {а_n}, где n-ный член равен а_n = (1 +1/n)ⁿ. Эта последовательность наз. возростающей.

а₁ = 2,0 а₂ = 2,25 а₃ = 2,37 а₄ = 2,441

Воспользуемся биномом Ньютона:

a_n = (1+1/n)ⁿ = 1+n*1/n + [n(n-1)/1*2]*1/n² + … +([n(n-1)…(n-(n-1))]/1*2…*n)*1/nⁿ

a_n = 2+1/1*2(1-1/n)+ … + (1/1*2*…*n)(1-1/n)(1-2/n)(1-(n-1)/n) +…

С ростом n увелич. как число положит. слагаемых, так и величина каждого слагаемого.

Аn < 2+1/1*2 + … + (1/1*2*…*n) +… < 2+ ½ + … + 1/2^n-1 ….

явл. геометр. прогрессией

а = ½

q = ½

S_n-1 = a(q^n-1 -1)/q-1 = ½({1/2}^n-1 -1)/(1/2 –1) = (1-(1/2)^n-1) <1

Т.к. S_n-1 < 1, то an < 2+1 < 3

а_n = (1+1/n)ⁿ < 2+1 = 3

По признаку сущ. f ограниченной и монотонной аn имеет предел.

Числом е (вторым замечательным пределом) наз. предел числ. Послед. ({}) при х®0

е = lim(1+1/x)^x е»2,718281…