Непрерывность функции. Функция f(x) называется непрерывной в т

Функция f(x) называется непрерывной в т. х₀, если она удовлетворяет следующему условию:

Она определена в т. х₀;

Имеет конечный предел;

Этот предел равен значению ф-ции в данной точке;

Дадим аргументу х приращение ,тогда ф-ция получит приращение :

Ф-ция у=f(x) называется непрерывной в т. х₀,если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции.

lim

Точка х₀ называется т.разрыва ф-ции f(x), если эта ф-ция в данноф точке не является непрерывной.

Различают т. разрыва:

1-го рода (когда существует конечные односторонние пределы ф-ции неравные друг другу).

2-го рода (когда хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует).

Св-ва ф-ций непрерывных в точке: Если ф-ции f(x) и (х) непрерывны в т. х,то их сумма произведений и частных является ф-цией непрерывной в т. х₀

Если ф-ция у=f(x) непрерывна в т. х₀ и f(x)>0,то существует такая окрестность в т.,в которой f(x)>0.

Если у=f(и)непрерывна в т. х₀,а ф-ция и = (х) в т. х₀,то сложная ф-ция непрерывна в т. х₀

Св-ва ф-ций непрерывных на отрезке:

Если ф-ция непрерывна на отрезке ,то она ограничена на этом отрезке.

Если ф-ция у= f(x) непрерывна отрезке ,то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения.

Если ф-ция у=f(x)непрерывна на отрезке и значение её на концах отрезка f(a) и f(в) имеют противоположные знаки,то внутри отрезка найдется т. такая,что f()=0.

12. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Пусть ф-ция y=f(x) определена на промежутке xвозьмем т.x єx, дадим значению x преращение ∆x ≠0 тогда ф-ция получит преращение ∆у=f(x+∆x)- f(x).

Определение. Производной ф-ции y=f(x) назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-вует)

y`=lim

Нахождение производной ф-ции наз. диферинцированием этой ф-ции. Если ф-ция в т.x имеет конечную производную, то ф-ция наз. диферинцированой в этой точке. Ф-ция диферованринцированая в каждой т. промежутке x наз. диферинцируемой на этом промежутке.

Геометрич, смысл производной:

Производная f `(x₀) есть угловой коофициент касательной проведенной к кривой y=f(x) в т. x₀ примит вид:

y-f(x₀)=f ` (x₀)(x-x₀)

Механический смысл производной:

-производ, пути по времени S`(t₀), есть скорость т. в момент времени t₀.

V(t₀)=S`(t₀)

Теорема:Если ф-ция y=f(x) диферинцируемая в т. x₀, то она в этой т. непрерывна.

Док-во. т. к. ф-ции y=f(x) диферинцируемая в т. x₀, то она имеет конечный предел:

Lim

Где f ` (x₀), постоянная величина, тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать, что:

=f `(x₀) +

где - бесконечно малая величина при ∆x→0

или ∆y = f `(x₀)∆x+ (∆x)⋅∆x

На основании свойств бесконечно малых величин можем утверждать что ∆y→0, при ∆x→0. Следовательно по определению ф-ция y =f(x) в т.x₀ явл. непрерывной.