![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция f(x) называется непрерывной в т. х0, если она удовлетворяет следующему условию:
Она определена в т. х0;
Имеет конечный предел;
Этот предел равен значению ф-ции в данной точке;
Дадим аргументу х приращение
,тогда ф-ция получит приращение
:
Ф-ция у=f(x) называется непрерывной в т. х0,если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции.
lim
Точка х0 называется т.разрыва ф-ции f(x), если эта ф-ция в данноф точке не является непрерывной.
Различают т. разрыва:
1-го рода (когда существует конечные односторонние пределы ф-ции неравные друг другу).
2-го рода (когда хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует).
Св-ва ф-ций непрерывных в точке: Если ф-ции f(x) и (х) непрерывны в т. х,то их сумма произведений и частных является ф-цией непрерывной в т. х0
Если ф-ция у=f(x) непрерывна в т. х0 и f(x)>0,то существует такая окрестность в т.,в которой f(x)>0.
Если у=f(и)непрерывна в т. х0,а ф-ция и = (х) в т. х0,то сложная ф-ция непрерывна в т. х0
Св-ва ф-ций непрерывных на отрезке:
Если ф-ция непрерывна на отрезке ,то она ограничена на этом отрезке.
Если ф-ция у= f(x) непрерывна отрезке ,то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения.
Если ф-ция у=f(x)непрерывна на отрезке и значение её на концах отрезка f(a) и f(в) имеют противоположные знаки,то внутри отрезка найдется т.
такая,что f(
)=0.
12. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Пусть ф-ция y=f(x) определена на промежутке xвозьмем т.x єx, дадим значению x преращение ∆x ≠0 тогда ф-ция получит преращение ∆у=f(x+∆x)- f(x).
Определение. Производной ф-ции y=f(x) назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-вует)
y`=lim
Нахождение производной ф-ции наз. диферинцированием этой ф-ции. Если ф-ция в т.x имеет конечную производную, то ф-ция наз. диферинцированой в этой точке. Ф-ция диферованринцированая в каждой т. промежутке x наз. диферинцируемой на этом промежутке.
Геометрич, смысл производной:
Производная f `(x0) есть угловой коофициент касательной проведенной к кривой y=f(x) в т. x0 примит вид:
y-f(x0)=f ` (x0)(x-x0)
Механический смысл производной:
-производ, пути по времени S`(t0), есть скорость т. в момент времени t0.
V(t0)=S`(t0)
Теорема:Если ф-ция y=f(x) диферинцируемая в т. x0, то она в этой т. непрерывна.
Док-во. т. к. ф-ции y=f(x) диферинцируемая в т. x0, то она имеет конечный предел:
Lim
Где f ` (x0), постоянная величина, тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать, что:
=f `(x0) +
где - бесконечно малая величина при ∆x→0
или ∆y = f `(x0)∆x+ (∆x)⋅∆x
На основании свойств бесконечно малых величин можем утверждать что ∆y→0, при ∆x→0. Следовательно по определению ф-ция y =f(x) в т.x0 явл. непрерывной.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 374 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!