Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

ТЕОР: если существует lim |an+1/an|¹0, то радиус сходимости степенного ряда

R=lim|an/an+1|.

Док-во: рассмотрим частичную сумму ряда а0 + а1 x+ а2 x²+…+аn xⁿ+… (1) Sn. По условию существует lim |an+1/an|=1/R¹0 при каждом х степенной ряд становится числовым. Проверим сходимость ряда по Даламберу lim| |=lim| ||x|=1/R|x|.

1) если |x|/R<1, то ряд сходится Þ ряд сходится для любого |x|<R, ряд абсолютно сходится.

2) если |x|/R>1, то ряд расходится Þ ряд расходится для всех |x|>R.

Получили, что исходный степенной ряд сходится на промежутке xÎ(-R, R).

Если lim |an+1/an|=0, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Если lim |an+1/an|=¥, то ряд сходится в 1 точке х=0