Теорема абеля

ТЕОР: если степенной ряд сходится при x=x0 (x0¹0), то ряд сходится и притом абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|. Если ряд степенной ряд расходится при x=x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих неравенству |x|>|x1|.

Док-во: Докажем I часть теоремы. Так как по условию степенной ряд

а0 + а1 x+ а2 x²+…+аn xⁿ+… (1) сходится, то его общий член аn xⁿ0 ®0 при n®¥, откуда следует, что последовательность { аnxⁿ0 } ограничена, т. е. существует число M>0 такое, что | аn xⁿ0|<M, n=0, 1,2,… (2). Перепишем ряд (1) в виде а0 + а1 x0 (x/x0)+ а2 x²0 (x/x0)²+…+аn xⁿ0 (x/x0)ⁿ+… (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: |а0| +| а1 x0||x/x0|+|а2 x²0||x/x0|²+…+|аn xⁿ0||x/x0|ⁿ+… (4). Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда M+M|x/x0|+M|x/x0|²+…+M|x/x0|ⁿ+… (6). При |x|<|x0| ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=|x/x0|<1 и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5), то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при |x|<|x0| сходится абсолютно.

Докажем II часть теоремы. По условию, в точке x1 ряд (1) расходится. Требуется доказать, что он расходится для всех х, удовлетворяющих условию |x|>|x1|. ПП: что при некотором значении х таком, что |x|>|x1|, ряд (1) сходится. Тогда по доказанному ряд (1) должен сходиться и в точке x1, так как |x|>|x1|. Но это противоречит тому, что в точке x1 ряд расходится.