Додатні ряди

Означення. Ряд називається додатнім, якщо .

Теорема. Для того, щоб додатній ряд був збіжним необхідно і достатньо, щоб послідовність частинних сум була обмежена зверху.

Доведення теореми випливає з теореми про границю монотонної послідовності та того, що - зростаюча.

Теорема порівняння. Нехай , додатні ряди. Якщо , то із збіжності ряду слідує збіжність ряду а із розбіжності ряду слідує розбіжність ряду .

Доведення. Позначимо , а . За умовою теореми , . Якщо ряд збігається, то за попередньою теоремою - обмежена зверху, тоді і послідовність - обмежена зверху (за нерівністю) отже, ряд - збігається.

Нехай ряд - розбігається, тоді не обмежена зверху, тоді теж не обмежена зверху і ряд розбіжний.

Ознака Д’аламбера. Нехай - додатний ряд і , то ряд збіжний, а якщо , то ряд розбіжний.

Доведення. За умовою . Ряд - збіжний () отже і - збіжний.

Якщо , то послідовність зростаюча і , то , отже ряд - розбігається.

Наслідок. Нехай - додатний ряд і існує .

Якщо q< 1 - ряд збіжний;

q>1 – ряд розбіжний.

Довести самостійно.

Ознака Коші. Нехай - додатний ряд і , то ряд збіжний, а якщо , то ряд розбіжний.

Доведення аналогічне доведенню ознаки Д’аламбера.

Наслідок. Нехай - додатний ряд і існує .

Якщо q< 1 - ряд збіжний;

q>1 – ряд розбіжний.