Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку

1. Повні простори. Ознака Коші.

1.1. Довести що збіжна послідовність є послідовністю Коші.

1.2. Послідовність Коші у метричному просторі обмежена.

1.3. Довести повноту за означенням.

1.4. Довести ознаку Коші для границі функції.

1.5. За ознакою Коші довести, що послідовність збіжна:

1. 2. .

2. Теорема про нерухому точку.

2.1. Довести, що стискаюче відображення - рівномірно неперервне.

2.2. Довести, що рівняння на відрізку має тільки один корінь.

2.3. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості послідовним наближенням.

2.4. Нехай , за теоремою про нерухому точку, довести що існує і знайти його.

Завдання для самостійної роботи

1. Якщо послідовність Коші має граничну точку, то вона збігається до неї.

2. Розглянемо метричний простір . Довести, за означенням, що Е не є повним.

3. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .

4. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .

5. Нехай А і В – повні підпростори метричного простору Х. Довести, що - повні.

6. Нехай Х і Y повні метричні простори з метриками і відповідно. Довести, що з метрикою теж повний простір.

7. Довести, що рівняння на відрізку має тільки один корінь.

8. Нехай . Довести за допомогою теореми про нерухому точку, що існує і знайти його.

9. Знайти границю послідовності (скористатися задачею 9).

10. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості, розв’язуючи відповідну систему рівнянь.