Ознаки Коші для границі послідовності і функції в R1. Повнота R1, Rn

Для R¹ з попередньої теореми маємо:

Теорема (Критерій Коші). Для того, щоб { } мала кінцеву границю необхідно і достатньо, щоб .

Аналогічна властивість справедлива в Rⁿ.

Критерій Коші для границі функції:

Теорема. Нехай ():R¹ R¹, тоді для того, щоб вона мала границю при необхідно і достатньо, щоб

Доведення провести самостійно.

Аналогічна властивість справедлива для ():Rⁿ R¹ (сформулювати самостійно).

3. Теорема про нерухому точку.

Означення. Відображення , де Е - метричний простір, називається стискаючим відображенням, якщо що для .

Наприклад: гомотетія з коефіцієнтом k < 1.

Легко бачити, стискаюче відображення - рівномірно неперервне відображення.

Означення. Точка називається нерухомою точкою , якщо .

Теорема. Кожне стискаюче відображення повного метричного простору в себе має нерухому точку, і до того ж єдину.

Доведення. Покажемо єдність: нехай такі, що , - це можливе коли (оскільки k<1) .

Покажемо існування нерухомої точки. Нехай довільна точка . Покладемо

,…. Покажемо, що { } - послідовність Коші.

Припустимо, що . Тоді

. Отже при , так як

Таким чином, { } - послідовність Коші і значить прямує до деякого . В силу неперервності () отримуємо: , тобто - нерухома точка.

Зауваження. Оцінка дає швидкість збіжності до .