Властивості

1) Якщо послідовність { } збіжна, то вона є послідовність Коші.

2) Будь-яка послідовність Коші обмежена.

3) Будь-яка підпослідовність послідовності Коші сама є послідовністю Коші.

4) Якщо послідовність Коші має граничну точку, то вона збігається до неї.

Означення. Метричний простір Е називається повним, якщо будь-яка послідовність Коші збіжна в даному просторі.

Теорема. Будь-який метричний простір Е, усі замкнуті кулі якого компактні, повний. В частинному випадку: повний, будь-який метричний, компактний простір; будь-який скінчено вимірний нормований векторний простір.

Доведення. Оскільки кожна послідовність Коші обмежена, то міститься в деякій замкнутій кулі В, тобто в деякому компакті. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса вона має граничну точку. Отже, послідовність збігається до цієї граничної точки і простір Е повний.

Наприклад. 1. -повний за теоремою.

2. - не є повною множиною.

Будь-який метричний простір можна доповнити до повного. Тому, як правило, розглядаються тільки повні простори.