Властивості показникової функції

1. При функція строго зростаюча. Дійсно, якщо , то існують і , (згідно принципу Архімеда). Отже за означенням та попередньо доведеної властивості 1, маємо

.

2. Функція () неперервна на .

Покажемо, що значення заповнюють множину . Нехай і Ø.

Оскільки з нерівності , то для маємо . З аксіоми повноти, існує такий, що для . Покажемо, що .

Якщо то, оскільки при , існує , що , але з нерівності (у зв’язку з тим, що розділяє множини А і В). Однак, за означенням множин А і В, маємо Ø, це протирічить вище отриманим включенням. Отже наше припущення невірне, тобто . Аналогічно отримаємо, протиріччя, якщо припустимо , тобто .

За теоремою про монотонну функцію, яка заповнює значеннями проміжок, маємо що неперервна на .

Якщо то , де і функція визначена і неперервна (за властивостями неперервних функцій) та спадаюча на .