Показникова функція

Нехай довільне число. Тоді для будь-якого , згідно з існуванням степеневої функції, існує число і виконуються властивості:

1. Якщо , то .

Доведення. Оскільки , то для будь-якого . Тоді для будь-якого , тобто або для будь-якого . Отже

.

2.

Доведення. Спочатку покажемо, що .

(за нерівністю Бернуллі). Отже при і з властивості граничних переходів в нерівностях маємо, що при . Таким чином .

Покажемо, що . Нехай при . Для кожного існує таке, що при (оскільки ). Тоді

.

Оскільки при (з вище доведеного) то згідно з властивостями граничних переходів в нерівностях маємо, що . Оскільки рівність доведена для будь-якої послідовності , при , то за ознакою Гейне існує і дорівнює 1.

Введемо означення показникової функції для .

Якщо , то (згідно з наслідками принципу Архімеда) існує такі, що , отже . Для будь-яких і . Таким чином множина обмежена зверху, а множина обмежена знизу, отже існують числа (з означень точної верхньої та нижньої границі). Покажемо, що . За означенням маємо , де , отже . Оскільки при , маємо: таке, що якщо , то , звідки .

Означення. Для будь-якого визначимо Таким чином, для будь-якого коректно визначена показникова функція .