Приклад. , означає, що таке що , для

1. E=F=R

, означає, що таке що , для якого виконується умова , виконується нерівність .

Означення. ₀ називається границею функції () при ₀ з права по А, якщо

такого що виконується нерівність .

Позначимо

Означення. ₀ називається границею функції () при ₀ зліва по А, якщо

такого що виконується нерівність .

Позначимо

З означень границі та границь справа та зліва випливає, що границя існує тоді і тільки тоді, коли існують границі з права та зліва, що рівні між собою.

Крім того, множину А, нижче, не будемо вказувати, якщо вона є зрозумілою з контексту або співпадає з областю визначення функції.

2. Довести

Знайдемо для яких буде виконуватися нерівність (для довільного ).

Припустимо, що , тоді або і . Отже

. Якщо , то . Візьмемо , тоді якщо , отже означення виконується, що і треба було довести.

3. Функція не має границі при . Дійсно якщо розглянути послідовності , то обидві послідовності збігаються до 0, однак отже означення Гейне не виконується.

4. ,

Число y₀ - границя по множині , якщо , такого, що виконується

.

Зазначимо, що границя не залежить від того по якому шляху рухається до граничної точки ₀.

5. Нехай Е=R², a F= з відповідними метриками

Розглянемо границю при (, ) (0,0).

При =0 і має границю 0 при (0, ) (0,0).

При =0 і має границю 0 при (,0) (0,0).

При = і має границю при (, ) (0,0).

Тобто в залежності від того по якому шляху точка (, ) прямує до (0,0) отримуємо різні значення границі. Отже не має границі при (, ) (0,0).

2. Чудові границі:

1. Перша чудова границя:

Доведення. Оскільки вираз парний, то можливо припустити що >0.

S_∆AOC<S_{сектораAOC}<S_∆AOB,

S_∆AOC=

S_{сектораAOC}= , (коло R=1),

S_∆AOB=

Отримали: поділив нерівність на sin отримуємо або

(Довести самостійно з означення).

Тоді за лемою про три границі .

2. Друга чудова границя:

Доведення. Покажемо за Гейне:

Нехай , така що . Для кожного n k_n N таке, що

(як підпослідовність ) і

Звідси, , тобто за Гейне .

Наведемо ще деякі означення границь.

Означення границь для випадку Е = F = R¹:

1.

2.

3.

Зауваження: Самостійно сформулювати означення границь для випадку Е= F= R¹ при