Метод Ньютона

Предположим, что уравнение (1) имеет простой вещественный корень и - дважды непрерывно- дифференцируемая функция в окрестности . Пусть - приближение , k=0,1, 2,...

Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки .

. (10)

Очередное приближение выберем из условия ,

где

.

Тогда

, (11)

и

. (12)

Здесь

,

следовательно

.

Если - простой корень, то , а . Поэтому существует окрестность точки , в которой .

Докажем теорему о сходимости метода Ньютона.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности корня выполнены следующие условия

, (13)

где - начальное приближение. Тогда итерационный метод Ньютона (12) сходится и справедлива оценка:

. (14)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая в (10) , получаем

. (15)