Проблема собственных значений

В ряде случаев возникает необходимость нахождения всех собственных значений матрицы, а возможно и всех собственных векторов. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений. Иногда требуется найти максимальное или минимальное по модулю собственное значение матрицы, наибольшее и наименьшее. Такие задачи относятся к частичным проблемам собственных значений.

1. Степенной метод нахождения наибольшего по модулю

собственного значения матрицы и соответствующего ему собственного вектора.

Для простоты изложения будем предполагать наличие полной системы линейно независимых собственных векторов :

.

Пусть

.

Выберем некоторый вектор и будем последовательно вычислять векторы . Пусть разложение по базису имеет вид

. (62)

Тогда

.

Далее

,

.

Полагая

получим

. (63)

Кроме того

,

. (64)

Замечание.

Если , то , а если , то . Поэтому целесообразно использовать модифицированный метод:

. (65)

2. Нахождение наибольшего и наименьшего собственного значения матрицы.

Чтобы найти и поступим следующим образом:

1. Найдем - наибольшее по модулю собственное значение матрицы .

2. Затем находим - наибольшее по модулю собственное

значение матрицы .

Если , то ,

при этом

.

Поэтому , т.е. .

Если , то , .

Упражнения для самостоятельного решения.

1. Решить методом Гаусса систему

2. Построить LU-разложение матрицы

3. Пусть и - нижние треугольные матрицы. Доказать, что

и - нижние треугольные матрицы. Аналогично для верхних треугольных матриц .

4. Методом квадратного корня решить систему

5. Доказать, что для трехдиагональной матрицы () в -разложении матрицы и - ленточные с полушириной 1.

6. Найти число обусловленности матрицы

в евклидовой норме.

7.Для системы уравнений

записать метод простой итерации и выяснить, при каких значениях параметра он сходится. Для начального приближения построить две первые итерации.

8. Для системы из предыдущего упражнения построить 2 первые итерации по методу Зейделя.

9. Исходя из вектора , сделать четыре итерации для отыскания наибольшего по модулю собственного значения матрицы

и найти его приближенное значение, а так же приближение к собственному вектору.

10. Доказать, что если , то .