Легко проверить, что

,

здесь - наименьшее собственное значение матрицы и .

В дальнейшем, под будем подразумевать .

Справедлива следующая теорема о достаточных условиях сходимости итерационного процесса (33).

Т е о р е м а Самарского. Пусть A – самосопряженная положительно определенная матрица:

(41)

и

, (42)

Тогда при любом выборе начального приближения итерационный процесс, который определяется формулой (33), сходится к решению системы (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим в виде , где - точное решение, - погрешность. Подставляя в (33), получим рекуррентное соотношение для погрешности:

. (43)

Откуда

(44)

где

, и . (45)

Из равенства (44) следует:

. (46)

Рассмотрим последовательность функционалов:

. (47)

Тогда

Учитывая, самосопряженность матрицы и соотношение (45), получаем

. (48)

Следовательно, невозрастающая, ограниченная снизу последовательность, которая имеет предел. В результате, учитывая утверждение , будем иметь

. (49)

Из этого неравенства и сходимости последовательности функционалов следует, что при . Согласно (45)

,

поэтому

,

что и завершает доказательство теоремы.

2. Метод простой итерации.

Итерационный метод (33) с матрицей B=E и называется методом простой итерации. Для вычисления очередного приближения применяется рекуррентная формула

, (50)

а условие (42) принимает вид

.

Откуда, учитывая (37), получаем ограничения на итерационный параметр

. (51)

Введем оператор перехода

. (52)

Тогда для погрешности решения справедливо соотношение

. (53)

Легко проверить, что собственными значениями матрицы будут числа и .

Справедливо утверждение:

Для того чтобы метод простой итерации сходился к решению системы (1) при любом выборе начального приближения, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы S были по модулю меньше единицы:

. (54)

Д о с т а т о ч н о с т ь. Условие (54) означает, что . Поэтому

. (55)

Н е о б х о д и м о с т ь. Если предположить существование , то, выбирая начальное приближение , получаем

,

что означает отсутствие сходимости итерационного процесса (50).

Перейдем к исследованию скорости сходимости метода. Пусть

- упорядоченный набор собственных чисел матрицы . Следовательно , и . Чем меньше норма , тем быстрее сходимость метода. Очевидно, что наименьшее значение нормы достигается при выполнении условия , т.е. . Откуда

и ,

где

. (56)

Заметим, что число обусловленности , т.е. для плохо обусловленных матриц сходимость метода простой итерации медленная. Для улучшения сходимости можно выбрать , или отказаться от условия . Рассмотрим первый случай.

3. Неявные итерационные методы.

В данном пособии мы ограничимся рассмотрением простейших вариантов неявных стационарных итерационных методов. Для этого разложим матрицу на сумму трех матриц:

, (57)

где - диагональная часть матрицы , с элементами

- нижняя треугольная матрица:

- верхняя треугольная матрица:

Матрица и параметр выбираются следующим образом:

. (58)

Получаемый при этом итерационный метод называется методом верхней релаксации, а в частном случае, когда - методом Зейделя.

Исследуем сходимость указанных методов, в предположении, что выполнены условия теоремы Самарского (41). Заметим, что

.

Поэтому

. (59)

В нашем случае

Тогда, учитывая (59), получаем

.

Так как у положительно определенной матрицы все диагональные элементы положительны, то матрица , и условие (42) в нашем случае принимает вид

.

Для, более общих, неявных итерационных методов справедливо утверждение, которое мы приведем без доказательства.

Пусть и - симметричные положительно определенные матрицы, для которых выполнены условия

, (60)

где положительные постоянные, .

Тогда при

итерационный метод (33) сходится и справедлива оценка

, (61)

где

.

Из этой теоремы следует, что матрицу желательно выбирать таким образом, чтобы она имела более простую, чем матрица структуру, при сохранении спектральных свойств матрицы , для того чтобы постараться увеличить .