Численные методы линейной алгебры

К численным методам линейной алгебры обычно относят численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисления определителей, обращения матриц, нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

С точки зрения классической математики решение этих задач не вызывает особых проблем: по формулам Крамера находим решение (СЛАУ); для нахождения собственных значений матрицы достаточно выписать характеристический многочлен и найти его корни, а затем собственные вектора. Однако на практике эти методы решения задач алгебры практически не работают. Например, при вычислении определителя матрицы классическим методом требуется порядка арифметических операций, что при больших значениях вызывает затруднение. Кроме того, необходимо учитывать влияние на конечный результат округлений при вычислениях.

Рассмотрим задачу о нахождении решения системы уравнений

, (1)

где - матрица - искомый вектор, - заданный вектор. Всюду в дальнейшем предполагается, что матрица A невырожденная, т. е. решение (1) существует и единственно. Методы численного решения системы (1) делятся на два класса: прямые или точные методы и итерационные методы. При использовании прямых методов “точное” решение находится за конечное число арифметических действий. Здесь мы не учитываем погрешности округлений при решении задач с использованием компьютеров. В итерационных методах решение (1) находится как предел при последовательных приближений , где - номер итерации.