Алгебраических уравнений

1. Предварительные сведения. Теорема Самарского.

Для решения системы уравнений (1) с использованием итерационных методов выбирается некоторое начальное приближение и затем последовательно находятся приближенные решения (итерации) уравнения (1). Если при вычислении очередной итерации используются значения m предыдущих, то такой метод называется m - шаговым. Мы будем рассматривать одношаговые линейные итерационные методы.

, (33)

где А – матрица исходной системы, B – невырожденная матрица, - итерационные параметры, .

Если B=E – единичная матрица, то метод (33) называют явным, в противном случае – неявным. При метод стационарный. В случае неявного метода для нахождения очередной итерации приходится решать систему уравнений

(34)

Поэтому матрицу B надо выбирать таким образом, чтобы объем вычислений при решении системы (34) был гораздо меньше, чем при прямом решении системы (1).

Для дальнейшего изложения материала нам понадобятся некоторые факты из теории линейных операторов в вещественных евклидовых пространствах . Напомним, что оператор называется сопряженным к оператору , если

. (35)

Для элементов матриц операторов и справедливо равенство

При оператор называется самосопряженным. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны, и существует ортонормированный базис из собственных векторов. Если выполняется неравенство

, (36)

то оператор называется положительно определенным. Очевидно, что оператор является самосопряженным и положительно определенным тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны.

Из этих свойств операторов нетрудно получить два простых утверждения:

. Для любого самосопряженного положительно определенного оператора справедлива оценка

, (37)

где - соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения оператора.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

разложение вектора в ортонормированном базисе из собственных векторов . Тогда и

.

Откуда легко следует оценка (37).

. Если , то существует число , такое, что

(38)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для достаточно взять .

Если , то заметим, что любую матрицу можно представить в виде

, (39)

где

. (40)