Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

1. Формула интегрирования по частям:

1. Формула замены переменной (подстановки):

Пусть x=y(u), тогда справедлива формула

Если в интервале [u₁, u₂] функции x=y(u), y¢(u) и ¦[y(u)] непрерывны и y(u₁)=x₁, y(u₂)=x₂, то

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящей от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то этот предел называют определённым интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке и обозначают

.

Если , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью Ox и двумя прямыми x=a, x=b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.