Векторы и линейные операции над ними

9.1. В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке М. Доказать:

а) ; б) для любой точки О выполняется равенство: .

9.2. Дан треугольник АВС, О – точка пересечения его медиан, М,Р и Q – середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Найти координаты векторов АВ, ВС и АС в базисе .

9.3. Выяснить, является ли система векторов базисом плоскости. Если является, то найти координаты вектора в этом базисе.

9.4. Выяснить, образуют ли векторы базис пространства. Если да, то найти координаты вектора относительно этого базиса.

9.5. Выяснить, компланарны ли векторы Если компланарны, то найти координаты вектора в базисе .

9.6. Лежат ли точки на одной прямой?.

9.7. Доказать, что четырехугольник с вершинами

является трапецией.

9.8. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда . Определить координаты остальных вершин:

а)

б)

в)

9.9. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти координаты точки пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС:

а)

б)

9.10. Даны координаты двух смежных вершин квадрата. Найти его площадь:

а) ;

б)

9.11. Даны две координаты вектора : y=4; z=-12. Определить его первую координату x при условии, что .

9.12. Дан модуль вектора и углы, образованные с осями координат: α=135º; β=120º; γ=60˚. Найти проекции вектора на координатные оси.

9.13. Определить координаты вектора , составляющего с осями координат равные углы при условии, что .

9.14. Написать разложение вектора по векторам , , :

9.15. Написать разложение вектора по векторам , , :

9.16. Выяснить являются ли векторы и линейно зависимыми?

9.17. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

a)

b)

9.18. Найти координаты точки А, делящей отрезок в отношении , если , .