Выпуклость вниз выпуклость вверх

А точка перегиба - точка графика, при переходе через которую меняется направление его выпуклости.

7) График гладкой функции – плавная кривая, не имеет изломов и заострений.

характерная точка: точка излома – точка графика, в которой резко, скачком меняется направление движения по графику.

8) Функция f(x) на множестве D ограничена, если существует такие числа M, К > 0, что для любого х принадлежащего множеству D выполняется неравенство:

M ≤ f(x) ≤ К

Функция f(x) на множестве D неограниченна, если какое бы не взяли положительное число M > 0, что найдется такое число х принадлежащего множеству D, что:

| f(x)| > M

1. Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|≤1 = M.
2. Функция y=x²+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f(3) = 11.
3. Рассмотрим функцию y=ln x при x  (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x→0 ln x→-∞.

2.5.

1. Функция, заданная формулой y=a^x (где a>0, a≠1, x R) называется показательной функцией с основанием а.

Основные свойства:

1) D(y)=(-∞;+∞),

2) E(y)=(0;+∞)

3) функция не является ни четной, ни нечетной.

4) характерная особенность: она нигде не обращается в 0, каково бы ни было число a>0 (т.е. график показательной функции нигде не пересекает ось Ох).

5) промежутки знакопостоянства: y>0 при всех х R.

6) промежутки монотонности: при 0<a<1 функция убыв при всех х R, при a>1 функция возрастает при всех х R.

7) непрерывна на всей области определения.

8) график функции:

y=a^x y y=a^x

0<a<1 a>1

0 x

2. Функция, заданная формулой y=log_ax, где a>0, a≠1, называется логарифмической функцией.

Основные свойства:

1) D(y)=(0;+∞),

2) E(y)=R

3) логарифмической функция по определению является обратной по отношению к показательной функции y=a^x (где a>0, a≠1, x R), поэтому ее график легко представить по графику показательной функции

4) функция не является ни четной, ни нечетной,

5) нули функции y=0 при х=1,

6) промежутки знакопостоянства: при 0<a<1 y>0 при х (0;1), y<0 при х (1;+∞); при a>1 y>0 при х (1;+∞), y<0 при х (0;1)

7) Функция y=log_ax непрерывна на всей области определения.

y y=log_ax

a>1

0 1 x

y=log_ax

0<a<1

3. y = sin x

1) D(y) = R

2) E(y) = [-1;1]

3) Нечетная

4) Периодическая Т = 2π

5) Немонотонная

6) непрерывная

4. y = cos x

1) D(y) = R

2) E(y) = [-1;1]

3) четная

4) Периодическая Т = 2π

5) Немонотонная

6) Непрерывная

5. y = tg x

1) D(y) = R, кр. x = π/2 + πk, kєZ

2) E(y) = R

3) Нечетная

4) Периодическая Т = π

5) Монотонно возрастает

6) Асимптоты y = -π/2 y = π/2

6. y = сtg x

1) D(y) = R, кр. x = πk, kєZ

2) E(y) = R

3) Нечетная

4) Периодическая Т = π

5) Монотонно убывает

6) Асимптоты y = -π; y = 0

7. y = arcsin x

1) D(y) = [-1;1]

2) E(y) = R

3) Нечетная

4) Немонотонная

5) непрерывная

8. y = arccos x

1) D(y) = [-1;1]

2) E(y) = R

3) Немонотонная

4) Непрерывная

9. y = arсtg x

1) D(y) = R

2) E(y) = R, кр. x = π/2 + πk, kєZ

3) Нечетная

4) Монотонно возрастает

5) Асимптоты y = -π/2 y = π/2

10. y = arcсtg x

1) D(y) = R

2) E(y) = R, кр. x = πk, kєZ

3) Монотонно убывает

4) Асимптоты y = π; y = 0

2.6.

Пусть функция y = f(x) задана на множестве D и x є D, (x + Δx) є D.

у

У = f(х)

Δу

Δх

х

Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки х _о. возьмём точку х ₁ этой окрестности, отличную от х _о.

Разность х ₁ – х ₀, которую обозначают символом ∆ х, будем называть приращением независимой переменной.

Пусть функция у= f(х) определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности, придадим точке х₀ приращение Δх и получим точку х₀+Δх, значение функции в этой точке – f(х₀+Δх). Разность значений f (х₀+Δх) – f(х₀) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х₀+Δх) – f(х₀).

Получаются следующие соотношения:

х ₁ = х ₀ + ∆ х,

у ₁ = у ₀ + ∆ у,

у ₀ + ∆ у = f (х ₀ + ∆ х)

Так как у ₀ = f (х ₀),

то ∆ у = f (х ₀ + ∆ х) – f (х ₀).

Частное будем называть разностным отношением - выражение

f (х ₀ + ∆ х )– f (х ₀ )

∆ х

(принимая что х ₀ имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения ∆ х.

Пример 1. Найти приращение для следующих функций:

1) y = kx + b

2) y = x²

3) y = x³

Решение:

1) ∆y = k(x + ∆x) + b – kx – b = kx + k∆x + b – kx – b = k∆x

2) ∆y =(x + ∆x)² - x² = x² + 2x∆x + ∆x² - x² = 2x∆x + ∆x²

3) ∆y =(x + ∆x)³ - x³ = x³ + 3 x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ - x³ = 3 x²∆x +(3x∆x + ∆x²)∆x

Пример 2. Найти приращение функции f(x) = x², если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х², f(х+∆х) = (х+∆х)²

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)² – x² = x²+2x*∆x+∆x² – x² = 2x*∆x + ∆x². Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)² = 0,2+0,01 = 0,21

Пусть функция y=f(x), x є D, определена в некоторой окрестности х₀ є D. Приращение функции в точке х₀ может быть представлено в виде ∆y =А∆x + α∆x.

3.1.

На интуитивном уровне понятие последовательности вполне понятно. Это последовательное перечисление, список чего-либо.

Например, последовательность шагов, необходимых для решения какой-нибудь задачи. Или последовательность блюд в меню ресторана. При этом подразумевается, что каждый элемент последовательности стоит на своем, строго-определенном месте. Т.е. эти элементы как бы пронумерованы, пересчитаны. А перестановка хотя бы двух элементов последовательности местами дает нам уже абсолютно другую последовательность.

Например: