Но Бог всемогущ, поэтому он может поднять любой камень

3) Антиномия Рассела: Рассмотрим все множества, не содержащие самих себя. Рассмотрим множество всех таких множеств. Тогда: если оно не содержит себя, то оно содержит себя.

То есть в основе теории множеств, которая претендует на роль фундамента ВСЕЙ математики, начальное базовое понятие принадлежности просто не позволяет создать некоторые из множеств!.. Математики договорились не создавать в рамках теории множеств такие множества, которые нельзя создать! То есть теория множеств оперирует со всеми множествами, кроме тех, которые нельзя создать. Все эти множества, объединенные в одно множество, называются УНИВЕРСУМОМ (универсальным множеством).

Понятие "множество" используется для любого количества элементов.

1. Даже для одного элемента – единичные множества.

2. Даже в случаях, когда в множестве нет ни одного элемента - такое множество называется пустым!

Также различают:

3. конечные - если оно содержит конечное число элементов;

Множество цифр, множество студентов в группе, множество березок в лесу

4. бесконечные - если число элементов бесконечно;

Множество натуральных чисел,множество точек на прямой, множество звезд на небе...

5. счетные, в которых все элементы можно пронумеровать, т.е. 1, 2, 3, 4, ….

Множество целых чисел, множество студентов в группе, множество березок в лесу

1.2.

Можно условно выделить следующие группы символов:

1) Большие латинские буквы, возможны с нижними индексами, обозначающие множество

А, В, С …, А₁, А₂…

Договорились, что обозначается через U – универсальное множество. Для числовых множеств существуют однозначные обозначения.

2) Ø- пустое множество.

3) Малые латинские буква, возможны с нижними индексами, обозначающие элементы

а, b, c..., а₁, …

4) Символы операций: , \, С_BA (¯), -.

5) Технические символы: (,), {,}, [, ].

6) Вспомогательные символы: є, , , =, , |

Множество задано, если относительно любой вещи можно сказать принадлежит она заданному множеству или нет, т.е. указать закон по которому определяется принадлежность вещи данному множеству. Существует два способа задания множества:

1) перечислением элементов;

А = { 0, 1, 2 …, 9} – множество цифр

2) с помощью закона (характеристического свойства).

{ x| _x²_{+ 1 = 0, x єR} } = Ø

Числовые множества можно задать интервалом.

Существует геометрическая интерпретация множеств - круги Эйлера-Венна.

А

Также различают множества:

- ограниченные:

- сверху, если для любого элемента из множества существует такое число, что элемент меньше или равен этому числу;

- cнизу, если для любого элемента из множества существует такое число, что

элемент больше или равен этому числу;

- сверху и снизу, если для любого элемента из множества существуют такие два числа, что этот элемент выполняется М ≤ х ≤ К

- неограниченные, если для любого х є А существует такое число К, что выполняется

| х| ≥ К