Пусть Х и У множества вещественных чисел

1. Найти область определения и область значений функции у = х² + 1

Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является

2. Найти область определения функции у = 1/(х² – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х² – 5х + 6=0. х₁ = 2, х₂=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

3. Найти область определения функции у= log₃(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.

4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1;

f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

5. Дана функция f(х) = 3х² + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а² – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а² – 1) = 3(а² – 1)² + а² – 1 – 1=3а⁴ – 6а² + 3 + а² - 2 = 3а⁴ – 5а² + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t²) + 1/t – 1 = (3 + t – t²)/t².

2.2.

Задать функцию - значит указать область ее определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

1-й способ: аналитический – функция задана одной или несколькими формулами:

- явное задание – уравнение решено относительно функции y = f (x)

y = x⁴

y = x³, x < 1

cos(x), x ≥ 1

- неявное задание, уравнение нерешено относительно функции F(x, y)=0

3х-у-1=0

ху=0

Иногда можно получить из неявного ее явное задание.

3х-у-1=0

у=1-3х

При аналитическом задании функции под областью ее определения (если только нет каких-нибудь дополнительных условий) понимают множество значений х, при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл. Это значит, что в результате применения формулы мы получаем для у определенные действительные значения.

Аналитическое задание функции - основной способ задания в математическом анализе.

Преимущества аналитического способа заключаются:

· в сжатости, компактности задания;

· в возможности вычислить значение функции для любого значения независимой переменной из области определения;

· наконец, и это самое главное, в возможности применить к данной функции аппарат математического анализа, ибо он наилучшим образом приспособлен как раз к аналитической форме задания функций.

Если, например, мы хотим исследовать методами математического анализа функциональную зависимость между температурой и электрическим сопротивлением медного стержня, то нам нужна именно формула, связывающая сопротивление и температуру, а не отдельные (пусть даже известные в большом числе) соответственные значения функции и независимой переменной.

Неудобствами аналитического задания функции являются:

· недостаточная наглядность;

· необходимость производства вычислений, подчас очень громоздких.

2-й способ: графический – функция задана с помощью графика – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х). Иными словами, если взять абсциссу, равную некоторому значению независимой переменной, то ордината соответствующей точки графика должна быть равна значению функции, соответствующему данному значению независимой переменной. При этом масштабы на обеих осях координат могут быть как одинаковыми, так и различными.

Используются различные системы координат. Наиболее распространенная прямоугольная система координат.

Графиком функции обычно служит некоторая кривая линия.

Таким образом, понятия линии и функции тесно связаны. Заданием функции порождается линия - ее график; заданием линии порождается функция - та, для которой эта линия служит графиком. Графическое задание функции состоит в задании графика этой функции.

В физике и технике функции нередко задаются графически, причем, иногда график является единственным доступным средством задания функции. Чаще всего это бывает при употреблении самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение одной величины в зависимости от изменения другой (например, времени). В результате на ленте прибора получается линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию. К таким приборам относятся, например, барограф, вычерчивающий барограмму - график атмосферного давления, и термограф, вычерчивающий термограмму - график температуры как функции времени.

К графику функции, не может быть непосредственно применен аппарат математического анализа, но график функции наряду с этим недостатком обладает весьма важным преимуществом - наглядностью, что делает его чрезвычайно полезным при изучении функции.

3-й способ: табличный – функция задана с помощью таблицы, содержащей значения х и соответствующие значения f (х).

При табличном заданиипросто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Этот способ часто употребляется. Хорошо известны таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и их логарифмов и др.

Табличный способ задания функций особенно распространен в естествознании и технике. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Например, при изучении зависимости электрического сопротивления S некоторого медного стержня от температуры.

to	19,1	25,0	30,1	36,0	40,0	45,1
S	76,30	77,80	79,75	80.80	82,35	83,90

Сопротивление является функцией температуры, и приведенная таблица дает значения этой функции для указанных значений независимой переменной.

Преимуществом табличного задания функций является то, что для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу, без всяких измерений и вычислений, найти соответствующее значение функции.

Недостаток же табличного задания заключается в том, что при нем обычно невозможно задать функцию полностью; найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице.

Например, данная выше таблица не позволяет ответить на вопрос о том, каковы сопротивления стержня при температурах, меньших 19,1° или больших 50,0°. Точно так же по таблице нельзя узнать значения сопротивления, например, при температурах 24,2° и 37,43°, прямо не указанных в числе значений температуры.

Другим недостатком табличного задания, особенно ярко проявляющимся при большом объеме таблицы, является отсутствие наглядности. По таблице весьма трудно выявить характер изменения функции при изменении независимой переменной.

4-й способ: словесный.

Функция Дирихле: функция равна 1, если ее аргумент рациональное число; равна 0, если ее аргумент иррациональное число.

5-й способ: функция полностью определяется заданием множества пар (x; f(x)), где x є D; f(x) є E.

(0;0), (1;1), (2;4)…

Одна и та же функция может быть задана различными способами. Рассмотренные способы задания функции обладают плюсами и минусами. Отсюда, пользуются всеми способами.

6-й способ: параметрический.

2.3.

Элементарные функции делятся на два класса.

1 класс алгебраических функций:

а) у = А₀х^п + А₁х^п-1 + А₂х^п-2 + … + А_п-1х + А_п, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А₀, А₁, А₂, …, А_п – вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = (А₀х^п + А₁х^п-1 + … + А_п)/(В₀х^м + В₁х^м-1 + … +В_м), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у = + х².

2 класс трансцендентных функций.

а) у = а^х, а > 0, а ≠1, показательная функция,

б) у = log_ах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = х^L, где L – иррациональное число. Например, у = х^π.

2.4.

1) Функция f(x) периодическая в области определения D, если выполняется:

- x є D, (x + T) Λ (x – T) є D (T ≠ 0);

- f(x) = f(x + T) = f(x – T);

где Т – период функции.

kT (k ≠ 0, k є Z) – будет являться периодом функции. Т.о., периодов бесконечно много.

y = sin x T = 2 π

Исходя из этого, функцию можно исследовать только на одном периоде.

2) Функция f(x) четная на множестве D если:

- область D симметрична относительно начало координат;

- f(-x) = f(x), x є D.

y = x²

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Исходя из этого, функцию можно исследовать только, например, на промежутке х>0.

Функция f(x) нечетная на множестве D если:

- область D симметрична относительно начало координат;

- f(-x) = -f(x).

y = x³

График нечетной функции симметричен относительно начало координат.

Исходя из этого, функцию можно исследовать только, например, на промежутке х>0.

3) График непрерывной функции – неразрывная кривая.

Точка разрыва – точка на оси ОХ, при прохождении над или под графиком терпит разрыв.

Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается точка, движущаяся по графику, неограниченно удаляясь от начала координат.

Вертикальная асимптота – прямая х = с, где с – точка «бесконечного» разрыва графика, при стремлении аргумента к которой слева и справа значения функции неограниченно возрастают по абсолютной величине. График уходит неограниченно вверх или вниз.

Горизонтальная асимптота – прямая у = а, к которой неограниченно приближается график (процесс неограниченного увеличения х, безграничное удаление точки х вправо по оси ОХ или неограниченное удаление точки х влево по оси ОХ.

Наклонная асимптота – прямая y = kx + b, к которой график неограниченно приближается.

4) Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (остается

положительной или отрицательной) – промежутки знакопостоянства функции.

Y < 0 Отрицательная

Y > 0 положительная

Если функция положительная, то ее график расположен выше оси ОХ, если функция отрицательная – ниже оси ОУ.

Также находят значения аргумента (в области определения) при которых функция равна 0, называются нулями функции – абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ. Также находятся значения функции, когда значения аргумента равны 0 – ординаты пересечения точек графика с осью ОУ.

5) Функция f(x) на множестве D неубывающая (возрастающая), если для любой пары чисел х₁ и х₂ (х₁ ≠ х₂, х₁ < х₂) выполняется равенство f(x₁) ≤ f(x₂)

(f(x₁) < f(x₂)).

Неубывающая возрастающая

Функция f(x) на множестве D невозрастающая (убывающая), если для любой пары чисел х₁ и х₂ (х₁ ≠ х₂, х₁ < х₂) выполняется равенство f(x₁) ≥ f(x₂)

(f(x₁) > f(x₂)).

Невозрастающая убывающая

Рассматривают точку максимума – абсцисса «вершины графика», точка, в которой функция определена и в которой возрастание функции сменяется на ее убывание.

Точка минимума – абсцисса «дна впадины» на графике, точка, в которой функция определена и ее убывание сменяется на возрастание.

Точка экстремума – значение функции в точках минимума и максимума.

6) График функции y = f (x) непрерывный на промежутке, обращен выпуклостью вниз (вверх) на этом промежутке, если хорда, соединяющая любые две точки этого графика, расположена на промежутке не ниже графика (не выше графика). Отсюда саму функцию называют выпуклой вниз (вверх).