Вроде множества чиновников и множества слуг народа

Т.е., если каждый элемент множества А является одновременным элементом множества В (А Ì В) и каждый элемент множества В – элементом множества А (В Ì А), то множества А и В называются равными (А=В), т.е.

А = В: а є А и в є В => а є В и в є А

А ≠ В: а є А и а ¢ В или в є В и в ¢ А

Основных операций всего три. Операции называются ОБЪЕДИНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и ДОПОЛНЕНИЕ. Чем-то они напоминают школьные операции сложения, умножения и изменения знака.

Аксель Иванович Берг - адмирал и академик, был одним из первых пропагандистов кибернетики в СССР. Во время беседы с одним "журналистом по научной тематике", который утверждал, что теория множеств не только не нужна, но и не понятна простому советскому инженеру, Берг прервал беседу и приказал своему шоферу отвести их в ближайший детский садик. В детском садике дети играли в большом песочнике. Берг нарисовал в песочнике два больших частично пересекавшихся круга. Далее он сказал: "Пусть в левый круг встанут все, кто любит манную кашу, а в правый - все, кто любит сливовый кисель!" (послевоенное время). Дети все забежали в нарисованные круги. Объединение всех этих маленьких сладкоежек и есть операция объединения теории множеств. Но, поскольку почти все дети встали в то место, где круги наложились друг на друга, из-за любви к каше и киселю одновременно, то тем самым продемонстрировали понимание физического смысла операции пересечения двух множеств. "Ну вот! Не знаю как инженеры, а дети понимают смысл операций над множествами!",- сказал Берг... Кстати, здесь роль универсума играл весь песочник. То, что нарисовал на песке Берг, называют сейчас диаграммами Эйлера-Венна. А то, что находилось на песке за пределами каждого из кругов, было дополнением соответствующего множества, то есть множеством элементов универсума, не принадлежащих к числу любителей данного кушанья (там находились Берг с журналистом).

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В (С = А ∩ В). Если множества А и В не имеют общих точек, то пересечением является пустое множество - А ∩ В = Ø

с є С => с є А и В; х є А и В => х є С

U U

Примечание: Данная операция выполняется для любого конечного и бесконечного числа множеств. Для бесконечного набора множеств символ обозначает их пересечение, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

♦ Пример 1. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}. Тогда C=A B={6,12,...,6n,...}.

Пример 2. .

Пример 3. Пусть – множество всех прямоугольников, – множество всех ромбов. Что собой представляет множество ?

Ответ. Множество всех квадратов.

Пример 4. Будем себе представлять каждый прямоугольник как множество, а именно – как множество всех точек, принадлежащих его контуру или лежащих внутри него. Какую фигуру образует пересечение всех прямоугольников, вписанных в данную окружность?

Ответ. Центр круга. ♦

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них. При этом, если множества А и В имеют общие элементы, то каждый из этих общих элементов в объединение входит только один раз.

(С = А В).

U

Примечание: Данная операция выполняется для любого конечного и бесконечного числа множеств. Если даны множества , то символическая запись означает объединение данных множеств, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

♦ Пример 1. Решить неравенство |2x+1| > 3.

Решение. Из данного неравенства следует либо неравенство 2x+1>3 в случае, когда 2x+1 0, тогда x>1, либо неравенство 2x+1<-3,в случае, когда 2x+1<0, тогда x<-2. Множеством решений исходного неравенства является объединение найденных промежутков решения (-,-2) (1,+).

Пример 2. A = {1; 3; 5; 7;...; 2n-1;....} — нечетные числа

B = {2; 4; 6; 8;....; 2n;...} — четные числа

A U B = {1; 2; 3;...; n;......} — натуральный ряд.

Пример 3. Объединение множества положительных четных чисел и множества положительных нечетных чисел есть множество натуральных чисел.

Пример 4. .

Пример 5. Начерчен отрезок длиной 2 см. Рассматривается на плоскости множество всех вершин таких равнобедренных треугольников с основанием , площади которых не меньше, чем 1 см². Это множество является объединением двух хорошо известных вам фигур. Каких?

Ответ. Объединение двух лучей, перпендикулярных к ; расстояние от начала каждого луча до равно 1 см.

Пример 6. Каждый треугольник мы себе будем представлять как множество точек, лежащих внутри этого треугольника или на его границе. Что собой представляет объединение всех правильных треугольников, вписанных в данную окружность? Ответ. Круг, ограниченный данной окружностью. ♦

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В, называется разностью А и В(С = А \ В).

U U

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

A - B = (A \ B)  (B \ A)

U

Если множество А подмножество множества В, тогда дополнение множества А до множества В – разность множество В без множества А.

U

С_вА = В \ А

Разность U \ A называется дополнением множества A и обозначается через Ā.

Если есть объекты и можно над этими объектами производить какие-либо операции, то возникает Алгебра.

Пусть задано множество М с заданной совокупностью операций ОБ'ЕДИНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и ДОПОЛНЕНИЕ. Таким образом, система А={М,U, , ¯} называется алгеброй множеств.

Можно отдельно рассмотреть законы:

1) коммутативность - объединение (пересечение) множеств А, В равно объединению (пересечению) множеств В, А.

2) ассоциативность - от изменения порядка объединения (пересечения) множеств результат не меняется

3) Дистрибутивность - пересечение с объединением равно объединению пересечений и (!) объединение с пересечением равно пересечению объединений

4) идемпотентности

5) существования универсальных групп

6) двойное дополнение - дополнение дополнения множества есть само множество.

= А

7) ПРОТИВОРЕЧИЯ и ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО - Пересечение множества с дополнением множества пусто. Объединение множества с дополнением множества совпадает с рассматриваемым универсумом.

А ∩ Ā = ø

А U Ā = U

8) Законы де Моргана (законы двойственности).

9) поглощения


Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

1.3.

В математике различные объекты могут чему-то соответствовать или не соответствовать. То есть между множествами могут устанавливаться различные СООТВЕТСТВИЯ.