Человек может соответствовать профессии, зарплата соответствовать должности, наказание - преступлению, оценка - знаниям

Для определения конкретного соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также определить "пары соответствий".

Например, область определения - группа ух-005, сдающая экзамен; область значений - отл, хор, уд, неуд - множество оценок. И множество пар Иванов - отл, Петров - хор, Сидоров - отл. А Федоров - не явился.

Соответствия обладают свойствами.

1. НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ и Всюду-определенное

поскольку для Федорова в этом соответствии нет пары. (Даже если бы мы написали в ведомости Федоров - н/я, то это все равно бы не попало в соответствие, поскольку "н/я" нет в множестве допустимых значений!) – не всюду определенное. Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Федорова, как отчисленного, то это соответствие стало бы всюду определенное.

Соответствие f называется всюду определенным, если D = A,

2. ФУНКЦИОНАЛЬНО или соответствие называют просто ФУНКЦИЕЙ и Нефункционально

Соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества, называется функцией, т.е. соответствие называется функциональным, если (x f y ₁) и (x f y ₂)↔ (y ₁ =y ₂).

Каждому студенту соответствует не более одной оценки, если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было б нефункциональным. То есть не было бы функцией.

3. Если функциональное соответствие всюду-определено на числовом множестве, то оно называется ОТОБРАЖЕНИЕМ (f: Х → Y или y=f(x)).

Если отобразить множество студентов в группе, на множество фамилий в группе, То это, скорее всего, будет ОТОБРАЖЕНИЕ множества студентов НА множество фамилий. Если же отобразить множество студентов группы на множество фамилий студентов университета, то говорят, что имеет место ОТОБРАЖЕНИЕ множества студентов В множество фамилий. То есть в области значений будут и "незадействованные фамилии".

Может встречаться случай, когда множество У состоит только из одного элемента.

Запись f(x) = c, c = const обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C.

Если определены отображения f:X → Y и g:Y → Z, то можно задать композицию этих отображений: g _° f:X→ Z, значения которой определяются формулой (g_° f)(x) = g(f(x)). (рис. 10)

4. НЕИН'ЕКТИВНО и Инъективно

В группе могут получить отл более, чем один студент, то данное соответствие неинъективно, получение студентами олимпийских медалей за победу в беге на 100 метров было бы примером инъективного соответствия.

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x₁, x₂  X, для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂.

5. НЕСЮР'ЕКТИВНО и сюрьективно

если на экзамене были использованы не все возможные оценки, то соотвествие несюръективно. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает "по жизни" СЮР'ЕКТИВНЫМ.

Сюръекцией (или отображением "на") называется отображение, при котором f(X) = Y.

Соответствие называется сюръективным, если Е = B.

6. Соответствие, которое одновременно ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕНО, ФУНКЦИОНАЛЬНО, ИН'ЕКТИВНО и СЮР'ЕКТИВНО называется БИЕКТИВНЫМ. Еще его называют ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНЫМ.

1. y = x², R ® R₊ (R₊–множество действительных положительных чисел) – сюръекция, но не инъекция, так как разным x соответствуют одинаковые y.

2. , R₊ ® R₊ – инъекция, но не сюръекция, так как
0£ y<1 для любых x³ 0.

3. Отображение y = 4x+7 числовой оси (-¥,¥) на себя – биекция.

1.4.

Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие.

Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств.

американские штаты находятся во взаимно однозначном соответствии с их столицами, хотя можем оставаться в неведении относительно общего их числа. Мы могли бы утверждать: «Столиц штатов ровно столько, сколько штатов».

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность.

Пусть дано множество А и m(A) – мощность данного множества. Тогда m(A UB) = m(A)+m(B)-m(A B).

В теории множеств аналогичные утверждения используются, даже когда множества содержат бесконечно много элементов.

До Кантора математики признавали и использовали так называемую ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ бесконечность.

Например, бесконечно большие числа в высшей математике. Бесконечно большое число это число, которое больше любого наперед заданного. Если человек не понимает, о чем речь, то его просят назвать самое большое число в мире!.. Образованный человек обычно называет число миллиардмиллиардов. А ему объясняют, что бесконечно большое число больше этого числа - "даже больше чем на еще миллиардмиллиардов". То есть у нас с вами всегда в запасе есть число потенциально(!) большее, чем придумает тот человек..

Кантор же ввел в математике АКТУАЛЬНУЮ бесконечность.

Например, можно увидеть в поэзии "звездам числа нет, бездне дна". "Вот она, ВСЯ бездна вашего падения!.. Дарю тебе ВСЕ звезды - такой ничтожной малости, для тебя моя, бесценная - единственная, не жалко!"...

То есть по Кантору бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции. Их даже можно сравнивать на больше - меньше.

Кантор доказал великую теорему, из которой следует, что бесконечности могут быть разные по величине. Поскольку "число" и "количество" - слова в этом случае неуместные, то он ввел термин "мощность".

Из бесконечного множества звезд (мощность которого тоже счетна) мы видим лишь их ограниченное конечное множество. На нарисованном отрезке прямой, содержащем бесконечное множество точек, мы видим конечное множество зерен грифеля, которым отрезок нарисован.

Мощность - число элементов множества.

Рассмотрим множество натуральных чисел. Это множество бесконечное. Кантор назвал это множество СЧЕТНЫМ и его мощность - мощностью счетного множества. Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать ее с мощностями других множеств. Во-первых, он установил, что эта мощность больше мощности любого конечного множества (студентов, березок и т.п.). Во-вторых, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же "количество" элементов), что и счетное.

Множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество целых четных положительных чисел! То есть они равномощны! Действительно, запишем друг под другом: 1 2 3 4... 2 4 6 8... Ясно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой, ВСЕГДА соответствует строго одно число второй последовательности. Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. И наоборот! Следовательно, эти множества равномощны! Следовательно, здесь ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!!

Кантор и доказал, что если взять бесконечное множества счетной мощности, например, множество целых положительных чисел и построить множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность БОЛЬШУЮ, чем счетная мощность. В нем всегда больше элементов. Эта новая большая мощность называется мощностью КОНТИНУУМА.

Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА. Подмножествами этого множества будут 4 множества(!): 1) РАЗ, ДВА - (любое множество подмножество самого себя) 2) РАЗ 3) ДВА 4) пустое. Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2.

Мощность континуума имеет, например, множество точек прямой или множество действительных чисел, что то же самое. Более того, любой отрезок числовой оси, даже такой, как отрезок от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нем больше чисел, чем найдется чисел в счетном множестве. А раз этот отрезок имеет мощность континуума, как и вся (бесконечная) прямая и, естественно, любой ее отрезок.