Методы определения оценок

Метод моментов при следующих допущениях:

1) считается, что в результате эксперимента сформирована выборка Х.

2) считается, что исследователю известна плотность распределения f(x,a) с точностью до параметров.

Ищется правило φ, предположим а^* = φ(Х)

Понятие момента: _b

M^(k) [X] = ∫ x^k f(x) dx

^a

момент тоже зависит от параметра.

_b

M^(k) [X] = ∫ x^k f(x,а) dx

^a

M^(k) [X] = φ(а) (2) - определяет k-ый момент и позволяет определить зависимость от неизвестного параметра а.

Если получить эмпирические выражения для k-го момента и приравнять к теоретическому, то получим истинное а. Можем найти его приближение, заменив его в формуле(2) эмпирическим моментом.

_n

M_э^(k) ≈ M_т^(k) ≈1/n ∑ x_i^k

ⁱ⁼¹

случайная величина

M_э^(k) = φ(а) → а^* Теперь левая часть известна, φ- известна, решаем уравнение и находим а^* (оценку). Полагаем, что k=1 и тогда в качестве эмпирического момента можно использовать 1-ый эмпирический момент:

_n

M_э = 1/n ∑ x_i =

ⁱ⁼¹

Если плотность зависит от нескольких параметров, например ν-распределение, то одного момента мало: k=2, нужно найти выборочную дисперсию. Необходимо решить систему:

при k=1

при k=2

Преимущество метода моментов: простота, ясность метода.

Недостатки метода моментов:

1) редко дает хорошие оценки;

2) нет обоснования почему в качестве условия нахождения оценок выбраны моментные характеристики.

Примечание: если рассматривается дискретная случайная величина ничего принципиально не меняется, меняется только формула для расчета моментов.