Суть метода Фишера-Неймана

При этом методе считается, что параметр а – это неизвестная величина, в частности может быть и случайной величиной. Идея построения доверительных интервалов поясняется следующим графиком:

а*

С₂(а*,ξ) С₁(а*,ξ)

а*

γ₂

а

а₂ а₁

γ₁

На вертикальной оси могут находиться оценки параметра а, при фиксированном значении а. Ось является представлением g(a^*/a) условной плотности появления параметра при его фиксированном значении.

По стержню распределена плотность. Плотность этого стержня будет пропорциональна этой функции:

γ ₁(а,ξ)

γ ₂(а,ξ)

(1)

Выражение (1) означает вероятность того, что значение попадет в этот отрезок. Точки будут двигаться по некоторым правилам γ ₁ и γ _2.

Заштрихованная область означает вероятность того, что оценка в любом случае будет в интервале от γ ₁ до γ _2. Если получим условную плотность, то можно найти доверительный интервал для получения оценок по формуле (1).

Проведем опыт и получим оценку. Пересечения точек, если их спроектировать на ось а. дают нам а₁ и а₂, которые определяют область изменения параметра а. Если параметр попадет в эту область, то его оценка с заданной вероятностью Р будет находиться в интервале от γ ₁ до γ _2.

Шаг 1: используя один из методов, получения точечных оценок стремится найти условную плотность: g(a^*/a). Если она найдена, то используют соотношение (1), задавая величину Р_д, находят интервалы γ ₁ и γ _2. Если же непосредственно найти условную плотность нельзя найти, то нужно сконструировать вспомогательную случайную величину, для которой может быть найдена условная плотность и для нее составляется уравнение типа (1).

Пример построения доверительного интервала для мат. ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону с известной дисперсией.

(параметр G считается известным)

X = (x₁,x₂,…,x_k) – считается, что провели опыт и сделали выборку. Необходимо найти параметр m_x. Точеной оценкой мат. ожидания является среднеарифметическая оценка:

- среднее значение (является случайной величиной)

имеет тоже нормальный закон распределения:

по теореме Чебышева

; G – среднеквадратичное отклонение

n – объем выборки.

Преобразуем случайную величину, чтобы исключить неизвестные, формируем новую случайную величину:

Закон распределения для η:

=

P{| - m_x| ≤ ξ}= P_д

P{| - m_x| ≤ ξ}=

Ф(ξ) - Ф(-ξ) = 2 Ф(ξ) = P_д

Ф(х) =

P{| - m_x| ≤ ξ}= P_д

Ф(ξ) = P_д/2

P_д – вероятность того, что модуль не превысит ξ.

| - m_x| =|η| ≤ ξ

F(x)

P_д

x tg

- интервальная оценка m_x

- точечная оценка или среднее значение.