Разложение случайного процесса по координатным функциям

Из предыдущего пункта становится ясной необходимость представления случайного процесса Ф(t) в виде специальных функций “приспособленных” к анализирующей деятельности специалиста в данной предметной области.

Так, например, в области электротехники, теории управления связи широкое распространение в качестве тестовых функций широко используются гармонические функции. В других областях используются другие наборы функций - полиномы Чебышева и т.д. В общем случае говорят о координатных функциях – разложение по координатным функциям.

Запишем формальное определение этой задачи: будем рассматривать такие случайные процессы, которые можно представить в виде суммы

, где - случайная величина, дисперсия, которая известна,

- известная координатная функция.

Для того чтобы проводить анализ перейдем к центрированному случайному процессу, т.е. вычтем из этого процесса математическое ожидание, тогда останется только сумма.

, такая неслучайная функция является корреляционной функцией – это математической ожидание от произведения двух сечений.

Можно использовать теорему об операторах математического ожидания и суммирование запишем = что бы выделить особенность правой части выделим слагаемые = . Необходимо исследовать особенности суммы. Выделим те слагаемые, в которых i=j и запишем в виде первого слагаемого.

- математическое ожидание от произведения двух случайных величин , можно считать, что это центрированные случайные величины, так как их математическое ожидание равно 0.

- корреляционный момент. Если все случайные величины попарно некоррелированны, то корреляционный момент для каждой пары равен нулю, то остается только первая часть