Сравнение бесконечно малых величин. Порядок малости

Функция α(х) называется б.м. функцией при х -> a (или в окрестности точки а),если limα(x)=0.

^x->a

Две б.м. α и β называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения равен некоторому числу, отличному от нуля, т.е. если lim(α/β)=A ≠ 0.

^x->a

Две б.м. α и β называются эквивалентными если предел их отношения равен 1, т.е.:

lim(α/β)=1 α~β

^x->a

Если lim(α/β)=0 (alim(β/α)=∞), то α называется б.м. высшего порядка малости по

^{x->a x->a}

сравнению с бесконечно малой β, напротив,β называется при этой бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с α.

Бесконечно малая α называется б.м. к-го порядка по отношению к б.м. β, если α и β^к будут бесконечно малыми одного порядка, т.е. lim (α/β^k)=A ≠ 0.

^x->a

Если отношение α/β при x->a не стремится ни к какому пределу; ни к конечному, ни к бесконечному, то говорят, что б.м. α и β несравнимы между собой.

Таблица э.м.ф.

1) sinα(x)~α(x)

2) tgα(x)~α(x)

3) 1 – cosα(x)~

4) arcsinα(x)~α(x)

5) arctgα(x)~α(x)

6) ln(1+α(x))~α(x)

7) (a>0)

e^α(x)-1~α(x)

8) (1+ )

-1~