Приближение

1. Найти точные нижние и верхние грани следующих множеств:

Пусть – некоторое подмножество метрического пространства . Через будем обозначать расстояние между элементами и Наилучшим приближением элемента элементами множества называется число

Элемент , на котором достигается точная нижняя грань, называется элементом наилучшего приближения.

Геометрически наилучшее приближение элемента есть расстояние от до множества , а элемент наилучшего приближения – точка , ближайшая к .

2. Пусть – множество рациональных чисел из , – иррациональное число, принадлежащее этому отрезку. Найти наилучшее приближение

3. Пусть – прямая на плоскости. Найти наилучшее приближение для точки элементами множества в пространстве Найти элемент наилучшего приближения; будет ли он единственным?

4. Найти и элемент наилучшего приближения, используя три способа измерения расстояний на плоскости:

а)

б)

в)

если , здесь – произвольные действительные числа.

Литература

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.