Последовательность. 1. Пусть ограниченная последовательность

1. Пусть ограниченная последовательность. Следует ли отсюда ее сходимость?

2. Пусть дано бесконечное число последовательностей:

	– I последовательность,
	– II последовательность,
................
	– последовательность.

Известно, что для любого последовательность сходится к нулю и для любого последовательность сходится к нулю. Что можно сказать о сходимости "диагональной" последовательности
?

3. Пусть – какой-нибудь базис пространства , тогда любой элемент последовательности может быть представлен в виде:

(*)

Доказать: для того, чтобы последовательность сходилась к вектору , необходимо и достаточно, чтобы

4. Доказать: если все сходящиеся подпоследовательности некоторой ограниченной последовательности имеют один и тот же предел, то и сама последовательность сходится к этому пределу.

5. Пусть непрерывная функция на отрезке и частичные суммы ряда Фурье функции . Пусть далее и , . Доказать, что последовательность функций сходится равномерно к функции на отрезке

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. М.: Наука, 1969.