Выпуклость

1. Описать все замкнутые, выпуклые множества на прямой.

2. Пусть – произвольное семейство замкнутых, выпуклых множеств на прямой. Доказать: если любые два множества семейства пересекаются по непустому множеству, то все множества имеют общую точку.

3. Пусть – замкнутое выпуклое множество на плоскости. Если – ограниченное множество, всегда ли проекция на одну из координатных осей является выпуклым замкнутым множеством? Провести доказательство. Те же вопросы для неограниченного множества .

4. Пусть – произвольное семейство замкнутых, ограниченных, выпуклых множеств на плоскости. Используя задачу 2, показать, что если любые четыре множества из имеют общую точку, то и все множества имеют общую точку.

Указание. Рассмотреть проекции на одну из координатных осей попарных пересечений множеств из .

5. Если пересечение любых трех из ограниченных замкнутых выпуклых множеств на плоскости не пусто, то и пересечение всех множеств также не пусто (теорема Хелли).

6. Доказать теорему Каратеодори: всякое выпуклое подмножество из может быть представлено как выпуклая оболочка не более чем точек из .

Литература

1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1976.