Фундирование школьного знания

В нашем примере необходимо построить теоретическое обобщение производной на уровне банаховых пространств. Пусть – банаховы пространства, – открытое множество в , и . Говорят, что существует производная функции в точке , если выполнено условие ( – линейный оператор из в )

где

Теперь, если , то – одномерная производная (число); если , , то – градиент функции в точке , а его компоненты – частные производные по переменным; если , то – вектор-столбец производных компонентных функций; если , то – комплексная производная (комплексное число); если , то – матрица Якоби.

Существование производной в точке означает нечто большее, чем просто существование особого вида действительного числа , вектора , комплексного числа (тоже вектора) , матрицы Якоби линейного оператора Это прежде всего возможность аппроксимации (приближения) функции в окрестности точки линейным отображением. Сущность понятия производной заключена в самой возможности линеаризации функции в окрестности исследуемой точки.

Ценность данной модели фундирования (понятия производной на уровне "данных" до ее глубокого теоретического обобщения на уровне "сущности") для учебного процесса в вузе и будущей профессиональной деятельности для студента-математика несомненна и должна найти определенное место в учебных программах математического анализа и авторских технологиях школьного обучения математике.

В то же время данная модель несет в единичном и особенном своем проявлении все основные черты теоретического знания о процессе фундирования базовых учебных элементов школьной математики. Создание системогенетического блока спиралей фундирования БУЭШМ позволяет определить устойчивое ядро содержания учебной информации, проектирующее элементы ориентировочной основы учебной деятельности студентов.

С другой стороны, проецирование теоретического обобщения (родовое понятие) на видовое разнообразие частных случаев в форме актуализированных практических приложений создает устойчивый мотивационный эффект в процессе усвоения школьного математического знания (в нашем примере – понятия производной).

Рис. 3. Видовые проявления родового понятия

Значимость батареи спиралей фундирования по учебным предметам в глобальном аспекте может быть представлена в форме спецсеминара для студентов 5 курса "Технология фундирования базовых учебных элементов школьной математики", а также в качестве основы для исследования в форме курсовых и выпускных квалификационных работ студентов.