Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудоемкость (час.)
		"Наивное" и аксиоматическое построение теории множеств. Аксиоматика действительных чисел. Метод математической индукции. Мощность множества
		Модуль действительного числа Системы счисления. Классы действительных чисел.
		Числовая прямая. Несобственные точки и , оперирование с бесконечностями. Классификация промежутков на числовой прямой.
		Окрестность точки на числовой прямой. Верхняя и нижняя границы (грани) множества.
		Функции и их свойства.
		Классификация элементарных функций. Декартова, полярная и параметрическая системы координат на плоскости.
		Последовательность, способы задания. Предел последовательности.
		Предел функции. Замечательные пределы.
		Непрерывность функции в точке и на множестве.
		Производная и дифференциал функции в точке
		Производные и дифференциалы высших порядков
		Исследование функций с помощью производных
		Первообразная функция. Методы неопределенного интегрирования.
		Применение интеграла Римана к вычислению длин дуг, площадей и объемов. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.
		Топология метрических пространств. Компакты и непрерывные отображения. Теорема Банаха.
		Предел функции нескольких переменных. Свойства функций непрерывных на компакте.
		Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
		Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
		Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости.
		Степенные ряды. Разложение основных элементарных функций.
		Ряды Фурье. Интеграл и ядро Дирихле. Разложение элементарных функций.
		Дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных). Классификация решений. Теоремы существования и единственности.
		Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
		Теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

Содержание самостоятельной работы студентов по темам дисциплины

Содержание самостоятельной работы студентов по темам

№ п/п	Темы дисциплины	Содержание самостоятельной работы студентов	Трудоемкость (час.)
	Нечеткие множества, отношения и числа	Опишите лингвистическую переменную «Малая группа». Приведите примеры нескольких ее термов. Постройте нечеткие множества «Деревня», «Село», «Поселок», «Город» Нечеткое множество «Несколько» определено следующим образом: А= «несколько»=0.5/3+0.7/4+1/5+0.9/7+0.5/8+0.1/9 Определить универсальные множества, содержащие а) носитель; б) точки перехода. 4. Рассмотрим множество хвойных деревьев (сосна, ель, лиственница). Составьте нечеткие отношения «похожи зимой», «похожи летом». Представить в виде треугольного нечеткого числа понятие «Цена книги». Интервал [10, 500] – пессимистическая оценка, а число 200- оптимистическая оценка. Создайте множество лингвистических оценок, состоящее из 3 термов.
	Аксиоматика действительных чисел	Установите взаимосвязи аксиом непрерывности Р.Дедекинда, К.Вейерштрасса и Г.Кантора. Докажите существование нижней и верхней грани у числового множества. Постройте с помощью циркуля и линейки рациональное число 13/20 на числовой прямой. Докажите, что 0<1 на основе аксиом. Напишите таблицу умножения (размера 6х6) для шестеричной системы счисления. Покажите, что уравнение хn=а при натуральном n и a>0 имеет положительный корень.
	Предел функции	Какое рациональное число m/n и как может быть разложено и притом единственным образом в цепную дробь (использовать алгоритм Евклида). Показать, что значение бесконечной цепной дроби иррационально. Показать, что числа Фибоначчи, 1,1,2,3,5,8,…(т.е. un=un-1+un-2 и u1=u2=1), получающиеся как знаменатели подходящих дробей в цепной дроби, задаются формулой Un=1/5 Докажите, что существует и притом единственная непрерывная функция на R, удовлетворяющая требованиям   F(x)=a, a>0, a/=1, F(x) * F(y) = F(x+y) Найдите предел   Lim xx (при x стремящемся к +0)
	Производная и дифференциал функции	Доказать, что функция Ван-дер-Вардена на отрезке [0;1] непрерывна, нигде не дифференцируема. Вычислить фрактальную размерность графика функции Ван-дер-Вардена. Доказать теорему Дарбу о промежуточных значениях и выяснить характер точек разрыва у производной функции. Построить теорию построения интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита Доказать формулу Лейбница для высших производных произведения дифференцируемых функций.
	Исследование функций	Доказать неравенства Юнга, Минковского и Гельдера для конечных сумм Исследовать дифференциальные свойства выпуклой функции Выявить мощность множества точек разрыва монотонной функции Вычислить длину дуги, площадь и фрактальную размерность «снежинки Х.Коха» Исследовать кривизну, радиус и центр кривизны кривой в точке.
	Первообразная и интеграл Римана	1. Исследовать метод М.В.Остроградского для вычисления интегралов от рациональных функций 2. Построить теорию интегрирования дифференциальных биномов П.Л.Чебышева 3. Построить 10 примеров элементарных функций неинтегрируемых в элементарных функциях 4. Доказать теорему Лебега о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману 5. Доказать вторую теорему о среднем для интеграла Римана
	Функции нескольких переменных	Выявить структуру открытых шаров в R3 для различных метрик Доказать лемму Э.Бореля для компактов в R3 Построить координатное представление дифференциала отображения Rn в Rn (матрица Якоби) Доказать формулу Грина для гладкой функции по квадрируемой области с гладкой границей Исследовать методы приближенного вычисления двойных интегралов
	Числовые и функциональные ряды	Сравнить мощности признаков сходимости Коши, Даламбера и Раабе Доказать теорему Теплица об обобщенном суммировании числовых рядов Доказать признак Дини равномерной сходимости непрерывных функций Вывести формулы Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда Построить 3 примера бесконечно дифференцируемых функций, которые не раскладываются в ряд Тейлора
	Ряды Фурье	Исследовать ортогональность систем функций Радемахера и Уолша Доказать неравенство Бесселя и равенство Парсеваля для ортонормированной системы функций в евклидовом пространстве Рассмотреть комплексную форму ряда Фурье и дать геометрическую трактовку Доказать признаки равномерной сходимости ряда Фурье Построить в системе MathCad (Maple) первые пять членов разложения в ряд Фурье дифференцируемой функции
	Дифференциальные уравнения	Доказать теорему Пеано о существовании решения дифференциального уравнения Исследовать приближенные методы нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка Рассмотреть метод рядов для нахождения аналитического решения дифференциальных уравнений Рассмотреть 5 примеров использования дифференциальных уравнений для моделирования задач естествознания Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами