№
п/п
| № раздела дисциплины
| Тематика практических занятий (семинаров)
| Трудоемкость (час.)
|
|
| "Наивное" и аксиоматическое построение теории множеств. Аксиоматика действительных чисел. Метод математической индукции. Мощность множества
|
|
|
| Модуль действительного числа Системы счисления. Классы действительных чисел.
|
|
|
| Числовая прямая. Несобственные точки и , оперирование с бесконечностями.
Классификация промежутков на числовой прямой.
|
|
|
| Окрестность точки на числовой прямой. Верхняя и нижняя границы (грани) множества.
|
|
|
| Функции и их свойства.
|
|
|
| Классификация элементарных функций. Декартова, полярная и параметрическая системы координат на плоскости.
|
|
|
| Последовательность, способы задания. Предел последовательности.
|
|
|
| Предел функции. Замечательные пределы.
|
|
|
| Непрерывность функции в точке и на множестве.
|
|
|
| Производная и дифференциал функции в точке
|
|
|
| Производные и дифференциалы высших порядков
|
|
|
| Исследование функций с помощью производных
|
|
|
| Первообразная функция. Методы неопределенного интегрирования.
|
|
|
| Применение интеграла Римана к вычислению длин дуг, площадей и объемов. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.
|
|
|
| Топология метрических пространств. Компакты и непрерывные отображения. Теорема Банаха.
|
|
|
| Предел функции нескольких переменных. Свойства функций непрерывных на компакте.
|
|
|
| Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
|
|
|
| Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
|
|
|
| Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости.
|
|
|
| Степенные ряды. Разложение основных элементарных функций.
|
|
|
| Ряды Фурье. Интеграл и ядро Дирихле. Разложение элементарных функций.
|
|
|
| Дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных). Классификация решений. Теоремы существования и единственности.
|
|
|
| Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
|
|
|
| Теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
|
|
Содержание самостоятельной работы студентов по темам дисциплины
Содержание самостоятельной работы студентов по темам
№
п/п
| Темы дисциплины
| Содержание самостоятельной работы студентов
| Трудоемкость (час.)
|
| Нечеткие множества, отношения и числа
| - Опишите лингвистическую переменную «Малая группа». Приведите примеры нескольких ее термов.
- Постройте нечеткие множества «Деревня», «Село», «Поселок», «Город»
- Нечеткое множество «Несколько» определено следующим образом:
А= «несколько»=0.5/3+0.7/4+1/5+0.9/7+0.5/8+0.1/9
Определить универсальные множества, содержащие
а) носитель;
б) точки перехода.
4. Рассмотрим множество хвойных деревьев
(сосна, ель, лиственница). Составьте нечеткие
отношения «похожи зимой», «похожи летом».
- Представить в виде треугольного нечеткого числа понятие «Цена книги». Интервал [10, 500] – пессимистическая оценка, а число 200- оптимистическая оценка. Создайте множество лингвистических оценок, состоящее из 3 термов.
|
|
| Аксиоматика действительных чисел
| - Установите взаимосвязи аксиом непрерывности Р.Дедекинда, К.Вейерштрасса и Г.Кантора.
- Докажите существование нижней и верхней грани у числового множества.
- Постройте с помощью циркуля и линейки рациональное число 13/20 на числовой прямой.
- Докажите, что 0<1 на основе аксиом.
- Напишите таблицу умножения (размера 6х6) для шестеричной системы счисления.
- Покажите, что уравнение хn=а при натуральном n и a>0 имеет положительный корень.
|
|
| Предел функции
| - Какое рациональное число m/n и как может быть разложено и притом единственным образом в цепную дробь (использовать алгоритм Евклида).
- Показать, что значение бесконечной цепной дроби иррационально.
- Показать, что числа Фибоначчи, 1,1,2,3,5,8,…(т.е. un=un-1+un-2 и u1=u2=1), получающиеся как знаменатели подходящих дробей в цепной дроби, задаются формулой
Un=1/5
- Докажите, что существует и притом единственная непрерывная функция на R, удовлетворяющая требованиям
F(x)=a, a>0, a/=1, F(x) * F(y) = F(x+y)
- Найдите предел
Lim xx (при x стремящемся к +0)
|
|
| Производная и дифференциал функции
| - Доказать, что функция Ван-дер-Вардена на отрезке [0;1] непрерывна, нигде не дифференцируема.
- Вычислить фрактальную размерность графика функции Ван-дер-Вардена.
- Доказать теорему Дарбу о промежуточных значениях и выяснить характер точек разрыва у производной функции.
- Построить теорию построения интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита
- Доказать формулу Лейбница для высших производных произведения дифференцируемых функций.
|
|
| Исследование функций
| - Доказать неравенства Юнга, Минковского и Гельдера для конечных сумм
- Исследовать дифференциальные свойства выпуклой функции
- Выявить мощность множества точек разрыва монотонной функции
- Вычислить длину дуги, площадь и фрактальную размерность «снежинки Х.Коха»
- Исследовать кривизну, радиус и центр кривизны кривой в точке.
|
|
| Первообразная и интеграл Римана
| 1. Исследовать метод М.В.Остроградского для вычисления интегралов от рациональных функций
2. Построить теорию интегрирования дифференциальных биномов П.Л.Чебышева
3. Построить 10 примеров элементарных функций неинтегрируемых в элементарных функциях
4. Доказать теорему Лебега о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману
5. Доказать вторую теорему о среднем для интеграла Римана
|
|
| Функции нескольких переменных
| - Выявить структуру открытых шаров в R3 для различных метрик
- Доказать лемму Э.Бореля для компактов в R3
- Построить координатное представление дифференциала отображения Rn в Rn (матрица Якоби)
- Доказать формулу Грина для гладкой функции по квадрируемой области с гладкой границей
- Исследовать методы приближенного вычисления двойных интегралов
|
|
| Числовые и функциональные ряды
| - Сравнить мощности признаков сходимости Коши, Даламбера и Раабе
- Доказать теорему Теплица об обобщенном суммировании числовых рядов
- Доказать признак Дини равномерной сходимости непрерывных функций
- Вывести формулы Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда
- Построить 3 примера бесконечно дифференцируемых функций, которые не раскладываются в ряд Тейлора
|
|
| Ряды Фурье
| - Исследовать ортогональность систем функций Радемахера и Уолша
- Доказать неравенство Бесселя и равенство Парсеваля для ортонормированной системы функций в евклидовом пространстве
- Рассмотреть комплексную форму ряда Фурье и дать геометрическую трактовку
- Доказать признаки равномерной сходимости ряда Фурье
- Построить в системе MathCad (Maple) первые пять членов разложения в ряд Фурье дифференцируемой функции
|
|
| Дифференциальные уравнения
| - Доказать теорему Пеано о существовании решения дифференциального уравнения
- Исследовать приближенные методы нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка
- Рассмотреть метод рядов для нахождения аналитического решения дифференциальных уравнений
- Рассмотреть 5 примеров использования дифференциальных уравнений для моделирования задач естествознания
- Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
|
|