Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Практические занятия (семинары)



№ п/п № раздела дисциплины Тематика практических занятий (семинаров) Трудоемкость (час.)
    "Наивное" и аксиоматическое построение теории множеств. Аксиоматика действительных чисел. Метод математической индукции. Мощность множества    
    Модуль действительного числа Системы счисления. Классы действительных чисел.    
    Числовая прямая. Несобственные точки и , оперирование с бесконечностями. Классификация промежутков на числовой прямой.    
    Окрестность точки на числовой прямой. Верхняя и нижняя границы (грани) множества.    
    Функции и их свойства.    
    Классификация элементарных функций. Декартова, полярная и параметрическая системы координат на плоскости.    
    Последовательность, способы задания. Предел последовательности.    
    Предел функции. Замечательные пределы.    
    Непрерывность функции в точке и на множестве.    
    Производная и дифференциал функции в точке  
    Производные и дифференциалы высших порядков  
    Исследование функций с помощью производных  
    Первообразная функция. Методы неопределенного интегрирования.  
    Применение интеграла Римана к вычислению длин дуг, площадей и объемов. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.  
    Топология метрических пространств. Компакты и непрерывные отображения. Теорема Банаха.  
    Предел функции нескольких переменных. Свойства функций непрерывных на компакте.  
    Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.  
    Интегральное исчисление функций нескольких переменных.  
    Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости.  
    Степенные ряды. Разложение основных элементарных функций.  
    Ряды Фурье. Интеграл и ядро Дирихле. Разложение элементарных функций.  
    Дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных). Классификация решений. Теоремы существования и единственности.  
    Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.  
    Теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.  

Содержание самостоятельной работы студентов по темам дисциплины

Содержание самостоятельной работы студентов по темам

№ п/п Темы дисциплины Содержание самостоятельной работы студентов Трудоемкость (час.)
  Нечеткие множества, отношения и числа
  1. Опишите лингвистическую переменную «Малая группа». Приведите примеры нескольких ее термов.
  2. Постройте нечеткие множества «Деревня», «Село», «Поселок», «Город»
  3. Нечеткое множество «Несколько» определено следующим образом:
А= «несколько»=0.5/3+0.7/4+1/5+0.9/7+0.5/8+0.1/9 Определить универсальные множества, содержащие а) носитель; б) точки перехода. 4. Рассмотрим множество хвойных деревьев (сосна, ель, лиственница). Составьте нечеткие отношения «похожи зимой», «похожи летом».
  1. Представить в виде треугольного нечеткого числа понятие «Цена книги». Интервал [10, 500] – пессимистическая оценка, а число 200- оптимистическая оценка. Создайте множество лингвистических оценок, состоящее из 3 термов.
   
 
  Аксиоматика действительных чисел
  1. Установите взаимосвязи аксиом непрерывности Р.Дедекинда, К.Вейерштрасса и Г.Кантора.
  2. Докажите существование нижней и верхней грани у числового множества.
  3. Постройте с помощью циркуля и линейки рациональное число 13/20 на числовой прямой.
  4. Докажите, что 0<1 на основе аксиом.
  5. Напишите таблицу умножения (размера 6х6) для шестеричной системы счисления.
  6. Покажите, что уравнение хn=а при натуральном n и a>0 имеет положительный корень.
 
  Предел функции
  1. Какое рациональное число m/n и как может быть разложено и притом единственным образом в цепную дробь (использовать алгоритм Евклида).
  2. Показать, что значение бесконечной цепной дроби иррационально.
  3. Показать, что числа Фибоначчи, 1,1,2,3,5,8,…(т.е. un=un-1+un-2 и u1=u2=1), получающиеся как знаменатели подходящих дробей в цепной дроби, задаются формулой
Un=1/5
  1. Докажите, что существует и притом единственная непрерывная функция на R, удовлетворяющая требованиям
  F(x)=a, a>0, a/=1, F(x) * F(y) = F(x+y)
  1. Найдите предел
  Lim xx (при x стремящемся к +0)  
 
  Производная и дифференциал функции
  1. Доказать, что функция Ван-дер-Вардена на отрезке [0;1] непрерывна, нигде не дифференцируема.
  2. Вычислить фрактальную размерность графика функции Ван-дер-Вардена.
  3. Доказать теорему Дарбу о промежуточных значениях и выяснить характер точек разрыва у производной функции.
  4. Построить теорию построения интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита
  5. Доказать формулу Лейбница для высших производных произведения дифференцируемых функций.
 
  Исследование функций
  1. Доказать неравенства Юнга, Минковского и Гельдера для конечных сумм
  2. Исследовать дифференциальные свойства выпуклой функции
  3. Выявить мощность множества точек разрыва монотонной функции
  4. Вычислить длину дуги, площадь и фрактальную размерность «снежинки Х.Коха»
  5. Исследовать кривизну, радиус и центр кривизны кривой в точке.
 
  Первообразная и интеграл Римана 1. Исследовать метод М.В.Остроградского для вычисления интегралов от рациональных функций 2. Построить теорию интегрирования дифференциальных биномов П.Л.Чебышева 3. Построить 10 примеров элементарных функций неинтегрируемых в элементарных функциях 4. Доказать теорему Лебега о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману 5. Доказать вторую теорему о среднем для интеграла Римана  
  Функции нескольких переменных
  1. Выявить структуру открытых шаров в R3 для различных метрик
  2. Доказать лемму Э.Бореля для компактов в R3
  3. Построить координатное представление дифференциала отображения Rn в Rn (матрица Якоби)
  4. Доказать формулу Грина для гладкой функции по квадрируемой области с гладкой границей
  5. Исследовать методы приближенного вычисления двойных интегралов
 
  Числовые и функциональные ряды
  1. Сравнить мощности признаков сходимости Коши, Даламбера и Раабе
  2. Доказать теорему Теплица об обобщенном суммировании числовых рядов
  3. Доказать признак Дини равномерной сходимости непрерывных функций
  4. Вывести формулы Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда
  5. Построить 3 примера бесконечно дифференцируемых функций, которые не раскладываются в ряд Тейлора
 
 
  Ряды Фурье
  1. Исследовать ортогональность систем функций Радемахера и Уолша
  2. Доказать неравенство Бесселя и равенство Парсеваля для ортонормированной системы функций в евклидовом пространстве
  3. Рассмотреть комплексную форму ряда Фурье и дать геометрическую трактовку
  4. Доказать признаки равномерной сходимости ряда Фурье
  5. Построить в системе MathCad (Maple) первые пять членов разложения в ряд Фурье дифференцируемой функции
 
  Дифференциальные уравнения
  1. Доказать теорему Пеано о существовании решения дифференциального уравнения
  2. Исследовать приближенные методы нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка
  3. Рассмотреть метод рядов для нахождения аналитического решения дифференциальных уравнений
  4. Рассмотреть 5 примеров использования дифференциальных уравнений для моделирования задач естествознания
  5. Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
 




Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 217 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...