Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!

---

Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Практ. занятия	Лабор. занятия	Семинар. занятия	Самост. работа студ.	Всего часов
	"Наивное" и аксиоматическое построение теории множеств. Мощность множества.Аксиоматика действительных чисел. Метод математической индукции.
	Модуль действительного числа Системы счисления. Классы действительных чисел.
	Числовая прямая. Несобственные точки и , оперирование с бесконечностями. Классификация промежутков на числовой прямой
	Окрестность точки на числовой прямой. Верхняя и нижняя границы (грани) множества
	Функции и их свойства
	Классификация элементарных функций. Декартова, полярная и параметричесакие координаты на плоскости
	Последовательность, способы задания. Предел последовательности
	Теоремы о пределе последовательности
	Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности
	Предел функции. Замечательные пределы
	Непрерывность функции в точке и на множестве
	Теоремы о непрерывных функциях
	Производная и дифференциал функции в точке
	Производные и дифференциалы высших порядков
	Основные теоремы дифференциального исчисления
	Исследование функций с помощью производных
	Первообразная функция. Методы неопределенного интегрирования.
	Интеграл Римана. Основная теорема интегрального исчисления.
	Применение интеграла Римана к вычислению длин дуг, площадей и объемов. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.
	Топология метрических пространств. Компакты и непрерывные отображения. Теорема Банаха.
	Предел функции нескольких переменных. Свойства функций непрерывных на компакте.
	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
	Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
	Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости.
	Степенные ряды. Разложение основных элементарных функций.
	Ряды Фурье. Интеграл и ядро Дирихле. Разложение элементарных функций.
	. Дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных). Классификация решений. Теоремы существования и единственности.
	Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков
	Теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

Лекции

№ п/п	№ раздела дисцип- лины	Тематика лекций	Трудоемкость (час.)
		"Наивное" и аксиоматическое построение теории множеств. Мощность множества. Аксиоматика действительных чисел. Метод математической индукции. "Наивное" и аксиоматическое построение теории множеств, система обозначений. Конечные и бесконечные множества. Задание множеств. Включение и равенство множеств. Булеан множеств, число сочетаний Операции над множествами. Мощность множества. Конечная и счетная мощность, континуум и трансфинитные числа Аксиоматика действительных чисел (аксиомы сложения, умножения, порядка, связи, аксиома непрерывности Дедекинда). Теоремы существования разности и частного, основные следствия из аксиом. Метод математической индукции
		Модуль действительного числа Системы счисления. Классы действительных чисел. Определение модуля действительного числа, свойства модуля. Модуль суммы, разности, произведения. Неравенство треугольника. Теорема Архимеда и следствия из нее. Определение классов действительных чисел. Целая и дробная часть действительного числа, диофантовы уравнения. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Системы счисления. Позиционная запись натуральных чисел. Понятие бита и байта информации. Двоичная система счисления и ЭВМ. Рациональные числа. Плотность рациональных чисел в . Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема о плотности Числа и . Бином Ньютона и неравенство Бернулли
		Числовая прямая. Несобственные точки и , оперирование с бесконечностями. Классификация промежутков на числовой прямой. Определение длины отрезка на прямой . Соизмеримые отрезки. Построение отрезка, соизмеримого с данным. Установление взаимнооднозначного соответствия между и точками . Числовая прямая. Несобственные точки и , оперирование с бесконечностями. Классификация промежутков на числовой прямой. Система вложенных промежутков. Теорема Кантора.
		Окрестность точки на числовой прямой. Верхняя и нижняя границы (грани) множества. Понятие окрестности точки на числовой прямой (собственной и несобственной). Отделимость окрестностей. Понятие предельной точки, внутренней точки. Понятие открытого множества, замкнутого множества. Понятие верхней и нижней границы (грани) множества. Замкнутость множества верхних и нижних границ множества. Теорема существования граней. Характеристическое свойство граней. Теорема существования корня
		Функции и их свойства. Понятие функции. Система обозначений. Типы отображений (инъекция, сюръекция, биекция), примеры. Способы задания функций (аналитический, табличный, графический, словесный). Понятие композиции функций. Ассоциативный закон композиции. Контрпример для коммутативного закона. Понятие обратной функции
		Классификация элементарных функций. Декартова, полярная и параметрическая системы координат на плоскости. Понятие основной элементарной функции. Элементарные функции, типы (монотонные, периодические, ограниченные, четные, нечетные). Классификация элементарных функций: многочлены, рациональные функции, иррациональные, неявные алгебраические, трансцендентные. Понятие декартовой, полярной и параметрической системы координат на плоскости. Метод продолжения. Построение графиков основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических. Построение графиков элементарных функций в декартовой, полярной системах координат, в параметрических координатах
		Последовательность, способы задания. Предел последовательности. Последовательность. Способы задания, некоторые приемы конструирования последовательностей. Понятие последовательности. Способы задания: аналитический, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, рекуррентный способ задания, числа Фибоначчи. Некоторые приемы конструирования последовательностей: непрерывные дроби, арифметические операции, числовые ряды, десятичные дроби. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о бесконечно малых последовательностях. Понятие предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности, примеры. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Теоремы о бесконечно малых последовательностях. Понятие суммы числового ряда. Расходимость гармонического ряда
		Теоремы о пределе последовательности. Число e. Единственность предела последовательности. Переход к пределу в неравенствах, арифметические операции над пределами. Теорема о единственности предела. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного. Сумма бесконечного числа членов убывающей геометрической прогрессии. Раскрытие неопределенностей. Понятие ограниченной последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности, понятие монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число e
		Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности. Понятие подпоследовательности как сужение функции натурального аргумента. Примеры. Подпоследовательность как композиция функций. Теоремы о подпоследовательностях сходящейся последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Метод Больцано. Понятие частичного предела последовательности. Теорема о частичных пределах сходящейся последовательности. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Примеры. Необходимое и достаточное условие существования предела
		Предел функции. Замечательные пределы. Предельная точка и сходящиеся последовательности. Понятие проколотой окрестности. Определение предела функции в точке на языке окрестностей. Запись различных вариантов -определений. Нахождение по . Односторонние пределы. Предел функции на языке последовательностей. Понятие односторонних пределов функции в точке. Предел функции на языке окрестностей. Эквивалентность определения предела функции на языке окрестностей и последовательностей. Достаточное условие несуществования предела функции. Теоремы о пределе функции (о единственности предела, о промежуточной переменной). Замечательные пределы. Метод "от противного" Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций
		Непрерывность функции в точке и на множестве. Определение непрерывности функции в точке и на множестве. Непрерывность двух элементарных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями. Теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного. Разрывные функции. Разрывы 1 и 2 рода.
		Теоремы о непрерывных функциях. Теоремы Больцано-Коши. Метод Больцано. Логический анализ теоремы. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора
		Производная и дифференциал функции в точке.Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, различные формы записи (разностное отношение, приращения). Пример несуществования производной функции в точке (10 примеров). Пример вычисления по определению производной (10 примеров). Геометрический и механический смысл производной. Определение бесконечной производной. Пример. Определение односторонних производных функций в точке. Пример. Теорема о необходимом и достаточном условии существования конечной производной. Бесконечно малые функции. Определение дифференцируемой функции в точке. Критерий дифференцируемости. Геометрический смысл условия дифференцируемости, уравнения касательной к графику функции в данной точке. Непрерывность функции. Дифференциал функции в точке. Геометрический и механический смысл дифференциала. Дифференциал как источник приближенных вычислений. Понятие производной функции и операции дифференцирования. Пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке области определения. Теоремы о связи арифметических операций и дифференцирования, доказательство одной из теорем. Таблица производных. Согласование операции дифференцирования с операцией обращения функции. Теорема о нахождении производной обратной функции. Пример. Геометрическая иллюстрация основной формулы. Производные обратных тригонометрических функций. Цепное правило дифференцирования. Дифференцирование степенно-показательных и неявно заданных функций. Параметрическое дифференцирование. Индуктивное определение производных высших порядков, обозначение, бесконечно дифференцируемые функции, примеры.
		Производные и дифференциалы высших порядков.Формулы производных высших порядков основных элементарных функций, нахождение коэффициентов многочлена. Доказательство формулы Лейбница. Индуктивное определение дифференциалов высших порядков. Формула для высших дифференциалов. Формула Лейбница в дифференциалах. Инвариантность формы дифференциала первого порядка, пример. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого. Пример.
		Основные теоремы дифференциального исчисления.Теоремы Ферма и Ролля. Геометрическая иллюстрация. Теорема Лагранжа. Геометрическая иллюстрация. Разрывы производной функции. Теорема Коши. Правило Лопиталя и его применение в анализе. Формулировка правила Лопиталя для различных ситуаций. Пример нахождения предела функции с использованием правила Лопиталя. Задачи, приводящие к формуле Тейлора. Задача о коэффициентах многочлена и задача об апроксимации функции многочленами. Доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Многочлен Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа. Построение многочлена Тейлора для элементарной функции.
		Исследование функций с помощью производных.Дифференциальная характеристика монотонности функции. Доказательство критерия монотонного неубывания (невозрастания) дифференцируемой функции. Строгая монотонность и дифференцируемость. Локальные и глобальные экстремумы функции. Критические точки. Три достаточных условия существования экстремума. Задача о наибольшем и наименьшем значении функции и глобальный экстремум. Связь его с локальным экстремумом. Схема исследования функции для нахождения глобального экстремума. Нахождение знака первой производной в критических интервалах. Нахождение глобальных экстремумов функции. Задача о равновесии линейного стержня. Неравенство Гельдера. Выпуклость и вогнутость функции. Дифференциальная характеристика выпуклости (вогнутости) функции. Теорема о дифференциальной характеристике выпуклости (вогнутости). Геометрическая характеристика выпуклости (вогнутости) функции. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба функции. Асимптоты функции. Схема исследования и построения графика функции. Определение и примеры горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот функции. Построение графиков элементарных функций.
		Первообразная функция. Методы неопределенного интегрирования.Задачи, приводящие к понятию первообразной функции. Формула общего вида семейства первообразных функций. Первообразная функция и ее свойства. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы неопределенного интегрирования. Задача выражения первообразной в конечном виде. Построение метода интегрирования по частям как обращения операции дифференцирования произведения и то же самое для метода замены переменной. Интегрирование рациональных функций. Простейшие дроби. Метод вычеркивания и неопределенных коэффициентов. Алгоритм интегрирования рациональной дроби. Интегрирование дроби третьего типа. Методы нахождения неопределенных коэффициентов на примерах. Метод Остроградского. Интегрирование иррациональных функций. Выражение первообразной для рациональных функций в конечном виде. Метод рационализации подинтегрального выражения, примеры. Дробно-линейная иррациональность, подстановки Эйлера на примерах. Интегрирование дифференциального бинома. Теорема Чебышева. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
		Интеграл Римана. Основная теорема интегрального исчисления.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства разбиений отрезка. Интегральные суммы. Определенный интеграл Римана. Определение интеграла на языке и направленного множества разбиений отрезка. Функция Дирихле. Теорема об ограниченности интегрируемой по Риману функции. Теорема существования интеграла. Классы интегрируемых по Риману функций. Доказательство существования одного из классов интегрируемых по Риману функций. Колебание функции на множестве и теорема существования интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Нижний и верхний интегралы Дарбу. Эквивалентное определение интеграла Римана. Свойства суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для интеграла. Формулировка всех свойств. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница. Методы определенного интегрирования.
		Применение интеграла Римана к вычислению длин дуг, площадей и объемов. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.Квадрируемость фигуры и ее площадь. Площадь криволинейной Площадь в декартовых, полярных и параметрических координатах. Кубируемость тела и его объем. Теорема существования объема. Примеры кубируемых тел. Объем прямого цилиндра. Объем тела вращения. Формула объема по квадрируемым сечениям. Спрямляемость дуги и ее длина. Длина кривой в декартовых, полярных и параметрических координатах. Площадь поверхности вращения в декартовых и параметрических координатах. Формула в параметрических координатах. Статические моменты и центр тяжести кривой и плоской фигуры. Первая и вторая теоремы Гульдина. Формулы для нахождения центров тяжести кривой. Общая схема применения определенного интеграла. Несобственные интегралы I и II рода. Признаки сходимости. Определение и примеры, сходимость и расходимость интегралов от неограниченных функций и по неограниченному промежутку.
		Топология метрических пространств. Компакты и непрерывные отображения. Теорема Банаха.Метрические пространства. Понятие метрического пространства. Примеры и др.). Окрестности точки в метрическом пространстве. Сходимость в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Пространство Типы множеств в (открытые и замкнутые множества). Предел последовательности точек в Компактные метрические пространства. Компакты в Основные свойства непрерывных отображений компактов. Теорема Банаха о сжимающем операторе. Приложения.
		Предел функции нескольких переменных. Свойства функций непрерывных на компакте.Понятие функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Предел функции в точке по множеству. Кратные и повторные пределы функции в точке и связь между ними. Непрерывность функции в точке (в области). Свойства непрерывных функций в замкнутых ограниченных областях.
		Дифференциальное исчисление функций нескольких пременных.Частные производные и производные по направлениям. Производная Гато. Градиент функции. Дифференцируемость и дифференциал. Необходимые условия дифференцируемости в точке. Достаточные условия дифференцируемости. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Частные производные высших порядков и условия их независимости от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функции двух переменных. Неявные функции. Существование и дифференцируемость неявной функции. Максимумы и минимумы функции многих переменных. Необходимые условия экстремума. Матрица Гессе. Достаточные условия экстремума для функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы. Функция и множители Лагранжа.
		Интегральное исчисление функций нескольких переменных.Интегральное исчисление для функций многих переменных. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Понятие двойного интеграла по области. Существование двойного интеграла по квадрируемой области (критерий интегрируемости). Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства двойного интеграла. Повторные интегралы. Вычисление двойного повторным интегрированием. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Некоторые применения кратных интегралов. Вычисление объема тела. Проблема измерения площади поверхности. Вычисление площадей гладких поверхностей. Приложения к физике. Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода, его существование, свойства и вычисление. Криволинейные интеграл второго рода, его существование, свойства и вычисление. Формула Грина и некоторые ее применения: а) вычисление площади плоской фигуры; б) условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Некоторые механические приложения криволинейных интегралов.
		Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости.Ряды. Числовые ряды. Верхний и нижний пределы. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Геометрическая прогрессия. Остаток сходящегося ряда. Арифметические операции над рядами. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Критерий сходимости ряда. Ряды с положительными членами. а) Критерий сходимости. Некоторые признаки сходимости и расходимости: признак сравнения, признаки Даламбера и Коши–Раабе, интегральный признак. Переместительное свойство сходящегося ряда. б) Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема Римана. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Функциональные ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Множество точек сходимости ряда. Понятие равномерной и неравномерной сходимости ряда на множестве. Некоторые признаки равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся рядов: а) непрерывность суммы ряда, составленного из непрерывных функций на отрезке; б) почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов; в) почленный переход к пределу.
		Степенные ряды. Разложение основных элементарных функций.Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус и область сходимости степенного ряда. Формула Коши–Адамара. Единственность разложения ряда Тейлора. Достаточное условие. Разложение основных элементарных функций: .
		Ряды Фурье. Интеграл и ядро Дирихле. Разложение элементарных функций.Тригонометрические ряды Фурье. Интеграл и ядро Дирихле. Лемма Римана. Достаточные условия разложимости. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье. Разложение на произвольном промежутке. Случай непериодических функций. Ряд Фурье в комплексной форме.
		Дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных). Классификация решений. Теоремы существования и единственности.Обыкновенные дифференциальные уравнения: порядок, общий вид. Общее и частные решения. Начальные и граничные условия. Постановка задачи Коши. Теоремы Пеано и Пикара. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (2). Интегральные кривые. Поля направлений и изоклины. Геометрическая интерпретация задачи Коши для уравнений 1 и 2 порядков.
		Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.Уравнения с разделяющимися переменными (частные случаи, алгоритм интегрирования). Однородные уравнения (и приводящиеся к ним). Метод замены переменной. Линейные уравнения 1-го порядка. Общий вид решения однородного и неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Геометрическое свойство интегральных кривых. Уравнение Бернулли. Метод подстановки и метод замены переменной. Уравнения в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие (теорема). Общее решение. Единственность решения задачи Коши. Интегрирующий множитель (общая теория и частные случаи). Множитель для однородных и линейных уравнений. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши и теорема Пикара. Уравнения, допускающие понижение порядка.
		Теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.Линейные уравнения -го порядка. Единственность решения задачи Коши. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Линейная зависимость и независимость решений. Определитель Вронского. Критерий и контрпример. Формула Остроградского–Лиувилля. Фундаментальная система решений. Теорема существования. Общее решение для однородного линейного уравнения -го порядка. Построение фундаментальной системы для уравнения 2-го порядка. Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Три формулы общего решения однородного уравнения. Общее решение для различных видов правой части неоднородного линейного уравнения 2-го порядка. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс.

Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 319 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!