Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
а) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Для определения значений постоянных и , найдём производные и подставим выражения для вместо в неоднородное уравнение . Учитывая, что:
, ,
получим:
.
Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и : . Решив систему, найдём: , . Частное решение запишется тогда в виде: .
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ: .
б) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; -какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , т.е. характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня , где , . Следовательно, ФСР имеет вид .
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения с правой частью . В данном случае функция не является функцией специального вида ,но представляет собой сумму функций и , каждая из которых уже имеет специальный вид. Поэтому, используя принцип наложения решений, частное решение неоднородного ДУ с правой частью найдём в виде суммы частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями .
Сначала найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём тогда в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому ; 2) , поэтому , , где - некоторые постоянные. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде: .
.
Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём тогда в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - некоторые постоянные. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Общее решение исходного уравнения запишется тогда (с точностью до неизвестных постоянных в частном решении) в виде:
.
Ответ:
.
181-190. Найти общее решение разностного уравнения:
Общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения; - фундаментальная система частных решений (ФСР) однородного уравнения; - произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид ; 2) если - пара одинаковых действительных корней, то ФСР имеет вид ; 3) если -пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид , где ; .
Частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , ….. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 323 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!