![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
а) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где
- фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ:
;
- какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ
. Для этого составим характеристическое уравнение
для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант
, то
,
, т.е. характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид
.
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения
, имеющегоправую часть специального вида
, где
,
,
,
. Частное решение найдём в виде
, где
, если число
не является корнем характеристического уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
- полные многочлены степени
с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число
не является корнем характеристического уравнения, поэтому
; 2)
, поэтому
,
, где
- неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Для определения значений постоянных и
, найдём производные
и подставим выражения для
вместо
в неоднородное уравнение
. Учитывая, что:
,
,
получим:
.
Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и
:
. Решив систему, найдём:
,
. Частное решение
запишется тогда в виде:
.
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ: .
б) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где
- фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ:
;
-какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ
. Для этого составим характеристическое уравнение
для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант
, то
, т.е. характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня
, где
,
. Следовательно, ФСР имеет вид
.
Затем найдём частное решение неоднородного уравнения
с правой частью
. В данном случае функция
не является функцией специального вида
,но представляет собой сумму функций
и
, каждая из которых уже имеет специальный вид. Поэтому, используя принцип наложения решений, частное решение
неоднородного ДУ с правой частью
найдём в виде суммы частных решений
неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями
.
Сначала найдём частное решение неоднородного уравнения
, имеющегоправую часть специального вида
, где
,
,
,
. Частное решение
найдём тогда в виде
, где
, если число
не является корнем характеристического уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
- полные многочлены степени
с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число
является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому
; 2)
, поэтому
,
, где
- некоторые постоянные. Таким образом, частное решение
с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
.
Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения
, имеющегоправую часть специального вида
, где
,
,
,
. Частное решение
найдём тогда в виде
, где
, если число
не является корнем характеристического уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
- полные многочлены степени
с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число
не является корнем характеристического уравнения, поэтому
; 2)
, поэтому
,
, где
- некоторые постоянные. Таким образом, частное решение
с неизвестными постоянными запишется в виде:
.
Общее решение исходного уравнения запишется тогда (с точностью до неизвестных постоянных в частном решении) в виде:
.
Ответ:
.
181-190. Найти общее решение разностного уравнения:
Общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка имеет вид
, где
- общее решение соответствующего однородного уравнения
;
- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения;
- фундаментальная система частных решений (ФСР) однородного уравнения;
- произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения
. А именно: 1) если
- пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид
; 2) если
- пара одинаковых
действительных корней, то ФСР имеет вид
; 3) если
-пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид
, где
;
.
Частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида
ищется в виде
, где
, если число
, для которого
и
, не является корнем характеристического уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
- полные многочлены степени
с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени
соответственно являются:
,
,
….. Для нахождения коэффициентов многочленов
и
, надо подставить решение
в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 324 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!