Решение. Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи

Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.

а) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

.

Действительно, осуществив в исходном уравнении замену и умножив его затем на , получим: , т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Нахождение общего решения уравнения , путём деления обеих его частей на , сводится к интегрированию уравнения с разделёнными переменными , где , , общее решение которого записывается в виде .

Разделим обе части уравнения на множитель , получим ДУ с разделёнными переменными: .

Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:

, где - произвольная постоянная.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно обязательно содержать одну произвольную постоянную.

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):

,

Тогда общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

.

Ответ: , где - произвольная постоянная.

б) Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, так как его можно записать в виде . Действительно, выполнив преобразования: , получим .

При выполнении преобразований однородного ДУ первого порядка к виду следует учесть, что .

Нахождение общего решения однородного ДУ первого порядка с помощью подстановки , или , где - новая неизвестная функция, сводится к нахождению общего решения ДУ с разделяющимися переменными относительно функции с последующей заменой .

С помощью подстановки , уравнение или приведём к ДУ с разделяющимися переменными вида относительно новой неизвестной функции . Получим:

.

Последнее уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Сведём его, разделив обе части уравнения на множитель к уравнению с разделёнными переменными. Получим:

.

Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:

, где - произвольная постоянная.

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):

;

.

Тогда общее решение последнего дифференциального уравнения запишется в виде: или в виде: , где - новая произвольная постоянная.

Теперь в найденном решении вернёмся к старой неизвестной функции , выполнив обратную замену . В итоге получим:

или .

Ответ: , где - произвольная постоянная.

151-160. Установить тип ДУ, найти его общее и частное решения, если:

,.