![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Общее решение простейшего ДУ -го порядка
находят, выполняя последовательно
интегрирований, и записывают в виде:
.
Общее решение дифференциального уравнения порядка должно обязательно содержать
разных произвольных постоянных.
а) Данное уравнение дважды проинтегрируем.
После первого интегрирования получим: . Интеграл вычислим (с точностью до постоянного слагаемого) методом интегрирования по частям. Получим:
. Тогда
.
После второго интегрирования получим:
.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:
;
;
.
Тогда
.
Ответ: .
Общее решение однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
, где
- фундаментальная система его частных решений;
-произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения
. А именно: 1) если
- пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид
; 2) если
- пара одинаковых
действительных корней, то ФСР имеет вид
; 3) если
- пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид
.
Корни характеристического уравнения , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:
1) если дискриминант уравнения , то
;
2) если дискриминант уравнения , то
.
б) Сначала найдём общее решение ДУ в виде: , где
- фундаментальная система его частных решений.
Для нахождения ФСР, составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант
, то
,
, т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид
.
Тогда общее решение данного ДУ запишется в виде: .
Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: ,
. Для этого сначала найдём производную
общего решения:
. Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных
и
:
.
Решив систему, найдём: ,
. Тогда частное решение данного ДУ запишется в виде:
.
Ответ:
Общее решение: ; частное решение:
.
171-180. Требуется найти:
а) общее решение линейного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: ;
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 263 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!