Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вычисление интегралов вида и , выделяя в квадратном трёхчлене полный квадрат и делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению табличных интегралов (см. приложение 6.3) и интегралов вида и , которые сводят к табличным заменой переменной .
Вычисление интегралов вида , делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению интегралов, рассмотренных выше.
Рациональной дробью называется рациональная функция вида . Если , то дробь не правильная, в противном случае – правильная. Всякую неправильную дробь всегда можно представить в виде , где , -многочлены от , причём . Выделение целой части (многочлена ) в неправильной дроби производят делением числителя на знаменатель, выполняемое «уголком». Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.
Интегрирование правильной рациональной дроби основано на её представлении в виде конечной суммы простейших дробей вида , , , , причём трёхчлен не имеет действительных корней. Вид этого разложения определяется разложением знаменателя дроби на линейные и квадратичные множители (не имеющие действительных корней).
Каждому линейному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида . Каждому квадратичному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида .
Неизвестные постоянные , , в разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей определяют методом неопределённых коэффициентов. Для этого правую часть искомого разложения приводят к общему знаменателю (им будет многочлен ), после чего у получившегося в числителе многочлена с неизвестными постоянными и у многочлена приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получают систему линейных уравнений, решая которую находят неизвестные постоянные. Можно также определять , , , подставляя в равенство, полученное приравниванием числителя к числителю дроби с неизвестными постоянными, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю , вместо некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя ) (метод частных значений). Часто, при нахождении неизвестных постоянных, комбинируют оба способа.
Интегралы вида , где -рациональная функция относительно аргументов и , приводятся к интегралам вида , где -рациональная функция относительно аргумента , с помощью универсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы
, , .
Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:
1) , если , при этом: , ;
2) , если , при этом: , ;
3) , если или , при этом: , , ;
4) , если , при этом . Здесь - рациональная функция относительно аргументов , .
Интегралы вида , где , - целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул: , .
Интегралы вида , , вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:
;
;
.
Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:
; ; ; .
Интегралы вида , где -рациональная функция своих аргументов, -целые числа, вычисляются с помощью подстановки , где - наименьший общий знаменатель дробей .
Вычисление интегралов вида , где -рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене и заменой , сводится к вычислению интегралов вида:
1) ; 2) ; 3) , где - рациональная функция своих аргументов.
Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:
1) или ;
2) или ;
3) или
приводятся к интегралам вида или , где - рациональная функция своих аргументов
Тема 16. Определённый интеграл.
К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , , и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа , называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на данном отрезке.
Если функция интегрируема на , то, по определению, полагают , .
Основные свойства определённого интеграла:
1..
2..
3..
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 581 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!