Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде , где , .

Общее решение ЛДУ первого порядка находится с помощью подстановки , где , - новые неизвестные функции. Одну из них, например , находят в виде , где - какая-нибудь первообразная для функции , тогда другую неизвестную функцию находят в виде общего решения ДУ: . В итоге будет найдено и общее решение исходного уравнения в виде

Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию получают из общего решения данного уравнения при конкретном значении произвольной постоянной . Находят как решение уравнения, получаемого подстановкой в общее решение начального условия.

Сначала найдем общее решение линейного ДУ первого порядка. Его ищем в виде , где и - новые неизвестные функции.

Функцию найдём в виде , где - какая-нибудь первообразная для функции . Вычислив интеграл, получим . Тогда .

Простейшим ДУ первого порядка называется уравнение вида . Общее решение такого уравнения находится интегрированием и записывается в виде .

Функцию найдём как общее решение ДУ: , где , . Данное уравнение является простейшим ДУ первого порядка. Его общее решение найдём интегрированием и запишем в виде . Вычислив интеграл (с точностью до постоянной), получим:

.

Таким образом .

Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде:

.

Теперь найдём частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Его получим из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной , которое найдём из уравнения, полученного подстановкой начального условия в общее решение. В результате получим: . Тогда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию , запишется в виде:

.

Ответ: - общее решение; частное решение.

161-170. Требуется найти:

а) общее решение простейшего ДУ порядка : ;

б) общее и частное решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

, , .