Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолётов в аэропорт, клиентов на предприятие обслуживания и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка и не зависит от начала его отсчёта. То есть вероятность появления событий за промежуток времени есть функция, зависящая только от и

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка, равна безусловной вероятности.

Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивность потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Действительно, из формулы видно, что вероятность появления событий за время , при заданной интенсивности является функцией и , что характеризует свойство стационарности.

Формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия.

Убедимся, что формула отражает свойство ординарности. Положив и , найдём соответственно вероятности непоявления событий и появления одного события:

Следовательно, вероятность появления более одного события

.

Пользуясь разложением

после элементарных преобразований получим

.

Сравнивая и , заключаем, что при малых значениях вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью одного события, что характеризует свойство ординарности.