Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Значения наблюдаемых в практике случайных величин всегда более или менее колеблются около среднего значения

Значения наблюдаемых в практике случайных величин всегда более или менее колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеянием величины около её среднего значения.

Числовые характеристики, характеризующие рассеяние случайной величины, т.е. показывающие, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины около центра рассеивания (математического ожидания), называются характеристиками рассеивания.

Основными характеристиками рассеивания случайной величины являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим разность между случайной величиной и её математическим ожиданием т.е. .

Эта разность называется центрированной случайной величиной, соответствующей величине :

.

Очевидно, закон распределения центрированной величины совпадает с законом распределения соответствующей случайной величины.

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для дискретной случайной величины

;

для непрерывной случайной величины

.

Но если математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю для всякой случайной величины , то, конечно, оно никак не характеризует рассеяние её значений, указывая только, что значения отклонения – числа разного знака. Поэтому в качестве меры рассеивания случайной величины берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

,

которое называют дисперсией случайной величины и обозначают или .

.

Для дискретной случайной величины

,

а для непрерывной

.

Дисперсия является очень удобной характеристикой рассеивания, но она лишена наглядности, так как имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому используют также характеристику рассеивания, имеющую размерность случайной величины – среднее квадратическое отклонения или :

.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2. Дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины

.

3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат её математического ожидания

.

Для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины

.

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Это свойство распространяется на независимых случайных величин

.