 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Биномиальное распределение. Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространённым является биномиальное распределение
|
|
Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространённым является биномиальное распределение.
Пусть случайная величина 
выражает число появлений события 
при 
независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события постоянна и равна 
. Следовательно, вероятность непоявления события равна 
.
Возможными значениями случайной величины являются 
Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли:
Такое распределение называется биномиальным. Биномиальный закон распределения случайной величины можно представить в виде следующей таблицы
|
| … | 
| … |
| ||
| 
| 
| … | 
| … | 
|
Биномиальное распределение имеет, например, случайная величина , выражающая число бракованных изделий в повторной выборке из изделий и т.п.
Найдём математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей биномиальное распределение.
Случайную величину можно представить в виде суммы 
, где 
- число появления события в 
-том испытании 
. В соответствии со свойством математического ожидания имеем
.
Случайная величина - число появления события в одном испытании – может принимать только два значения: 
(событие наступило) с вероятностью и 
(событие не наступило) с вероятностью . Следовательно, 
.
Следовательно,
.
Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины, распределённой по биномиальному закону с параметрами и , равно произведению параметров.
Найдём дисперсию случайной величины . Так как испытания независимы, то величины 
- независимы и по свойству дисперсии для независимых случайных величин
.
Вычислим 
Случайная величина может принимать только два значения: с вероятностью и с вероятностью . Случайная величина 
также принимает только два значения: 
с вероятностью и 
с вероятностью 
. По формуле для дисперсии получаем:
Следовательно,
Таким образом, дисперсия дискретной случайной величины, распределённой по биномиальному закону с параметрами и , равно произведению 
.
Следовательно,
Равномерное распределение
Распределение вероятностей случайной величины называется равномерным на отрезке 
, если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне этого отрезка:
.
С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда по условиям опыта величина принимает значения в конечном промежутке . Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причём ни одно из этих значений не имеет преимуществ перед другими. Например: 1. - время ожидания на стоянке автобуса (величина равномерно распределена на отрезке 
, где 
- интервал движения между автобусами); 2. - ошибка при взвешивании случайно выбранного предмета, получающаяся от округления результатов взвешивания до ближайшего целого числа (величина имеет равномерное распределение на отрезке 
, где за единицу принята цена деления шкалы).
График плотности 
для равномерного распределения изображён на рисунке:
Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице, то плотность равномерного распределения на интервале 
, как высота прямоугольника с основанием 
, равна 
и, следовательно, плотность распределения имеет вид:
.
Найдём функцию распределения 
для равномерного распределения на интервале .
При 
а при 
Таким образом,
.
График функции показан на рисунке:
0
Определим основные характеристики случайной величины , подчинённой закону равномерной плотности на участке от до .
Математическое ожидание величины равно:
.
В силу симметричности равномерного распределения медиана величины также равна 
Моды закон равномерной плотности не имеет.
Находим дисперсию величины :
,
откуда среднее квадратическое отклонение
.
В силу симметричности распределения его ассиметрия равна нулю.
Для определения эксцесса найдём четвёртый центральный момент:
откуда
.
Найдём вероятность попадания случайной величины , распределённой по закону равномерной плотности, на участок 
, представляющий собой часть участка 
Геометрически эта вероятность представляет собой площадь, заштрихованную на рисунке. Очевидно, она равна:
0 
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 365 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
