Моменты случайной величины

В теории вероятностей различают моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом -того порядка случайной величины называют математическое ожидание величины , т.е.

.

Следовательно, для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой

,

для непрерывной – интегралом

Из начальных моментов случайной величины особое значение имеет момент первого порядка, который представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины.

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом -того порядка случайной величины называют математическое ожидание величины

.

Для дискретной случайной величины центральный момент выражается суммой

,

для непрерывной – интегралом

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Среди центральных моментов случайной величины особое значение центральный момент второго порядка, который представляет собой не что иное, как дисперсию случайной величины.

Третий центральный момент служит характеристикой ассиметрии («скошенности») распределения.

Если случайная величина распределена симметрично относительно своего математического ожидания, все нечётные центральные моменты, в частности равны нулю.

Так как третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то обычно рассматривают безразмерную величину – отношение к среднему квадратическому отклонению в третьей степени

.

Величина носит название коэффициента ассиметрии.

На рисунке первая кривая распределения имеет положительную ассиметрию (), вторая кривая распределения имеет отрицательную ассиметрию ().

Четвёртый центральный момент служит для характеристики островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины называется величина

Число 3 вычитается потому, что для наиболее распространённого нормального закона распределения

Кривая нормального распределения, для которого эксцесс равен нулю, принята как бы за эталон, с которым сравниваются другие распределения. Кривые более плосковершинные имеют отрицательный эксцесс, более островершинные – положительный эксцесс.