Функция распределения. Для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения

Для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения. Во-первых, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, которые непрерывно заполняют некоторый промежуток, и перечислить их в какой-либо таблице нельзя; во-вторых, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью.

Наиболее общей формой закона распределения случайной величины является так называемая функция распределения.

Функцией распределения случайной величины называется задание вероятности выполнения неравенства , рассматриваемой как функции аргумента :

.

Функция распределения или интегральная функция распределения существует для непрерывных и для дискретных случайных величин. Она является одной из форм закона распределения.

Если рассматривать случайную величину как случайную точку оси , которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадёт левее точки .

Для дискретной случайной величины функция распределения будет иметь вид:

.

Из этого выражения следует, что функция распределения дискретной случайной величины разрывна и возрастает скачками при переходе через точки её возможных значений , причём величина скачка равна вероятности соответствующего значения.

Пример: Производится опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Случайная величина - число появлений события в опыте (характеристическая случайная величина события ). Построить её функцию распределения.

Ряд распределения величины имеет вид:

	0,7	0,3

1). при

2). при

3). при

График функции распределения

имеет вид: 1

0 1

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина приближается к непрерывной величине, а её функция распределения к непрерывной функции.

Свойства функции распределения:

1.

2.

3. При

4. .

. Значение этого предела зависит от того, является ли непрерывной функцией в точке или же терпит разрыв. Если в точке функция имеет разрыв, то предел равен значению скачка функции в точке . Если же функция в точке непрерывна, то этот предел равен нулю. Этот вывод вполне согласуется с определением вероятности как предела частоты события при стремлении числа опытов к бесконечности. Он характеризует тенденцию частоты события неограниченно убывать при увеличении числа опытов и ни в какой мере не означает, что данное событие невозможно

В связи с равенством нулю вероятности любого отдельного значения непрерывной случайной величины свойство 2 для непрерывной случайной величины можно переписать так: