Закон Пуассона

Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время ; число отказов сложной аппаратуры за время , если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на единицу времени приходится отказов, и т.д.

Рассмотрим общую задачу теории вероятностей, приводящую к распределению Пуассона.

На оси случайно распределяются точки таким образом, что вероятность попадания любого данного числа точек на любой отрезок оси не зависит от числа точек, попадающих на другие неперекрывающиеся отрезки оси , и от их распределения на этих отрезках, а зависит только от размера отрезка .

Требуется найти вероятность того, что на отрезок оси длины попадает ровно точек, предполагая, что точки распределены по всей оси с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. среднее число точек (математическое ожидание), приходящихся на единицу длины, через . Будем считать, что если рассматриваемый отрезок достаточно мал, то вероятность возможного попадания на него двух или более точек пренебрежимо мала. При наших допущениях получаем:

.

В полученном выражении величина есть не что иное, как математическое ожидание числа точек, попадающих на отрезок длиной .

Обозначая , получаем:

Распределение дискретной случайной величины , описываемой данной формулой, называется распределением Пуассона.

Запишем ряд распределения:

				…		…
				…		…

Покажем, что .

Принимая во внимание разложение функции в степенной ряд

и вытекающее отсюда равенство

,

получаем

.

Найдём математическое ожидание:

Вычислим дисперсию по формуле: .

.

Положив , получим

.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же велико, а мало прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остаётся неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли:

.

Так как , то . Следовательно,

.

Найдём . Заметим поскольку произведение сохраняет постоянное значение, то при вероятность .

.

.

Эта формула выражает закон Пуассона вероятностей массовых ( велико) и редких ( мало) событий.