Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пусть производится несколько испытаний, в результате которых может появиться событие с некоторой вероятностью. Если вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

Поставим следующую задачу.

Определить вероятность того, что в результате проведения независимых испытаний некоторое событие наступит ровно раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с вероятностью .

Искомую вероятность будем обозначать . Например, символ означает, что в десяти испытаниях событие появится ровно 4 раза.

Пример: Производится три независимых выстрела по мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна . Найти вероятность того, что при этих выстрелах мы получим ровно два попадания.

Обозначим событие, состоящее в том, что в мишень попадёт ровно два снаряда. Это событие может произойти тремя способами:

1). попадание при первом выстреле, попадание при втором, промах при третьем;

2). попадание при первом выстреле, промах при втором, попадание при третьем;

3). промах при первом выстреле, попадание при втором, попадание при третьем.

Следовательно, событие можно представить как сумму произведений событий.

где - попадания при первом, втором, третьем выстрелах соответственно, - промах при первом, втором, третьем выстрелах.

Учитывая, что три перечисленных варианта события несовместны, а события, входящие в произведения, независимы, по теореме сложения и умножения получим:

или, обозначая ,

.

Непосредственное применение теорем сложения и умножения вероятностей для решения задачи с увеличением числа испытаний приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому используют менее трудоёмкий способ расчёта – по формуле Бернулли.

Предположим, что в одинаковых условиях производится независимых испытаний, результатом каждого из которых может быть наступление либо события с вероятностью , либо ему противоположного с вероятностью В силу постоянства условий вероятности и в каждом испытании одинаковы.

Нам нужно найти вероятность , то есть вероятность того, что в испытаниях событие наступит раз, а в оставшихся испытаниях событие не наступит. При этом событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Примером такой комбинации может служить событие , при котором событие наступает подряд раз, начиная с первого испытания:

По условию испытания независимы. Это значит, что независимы события, входящие в комбинацию, поэтому, используя теорему умножения для независимых событий, получим:

.

Так как все комбинации событий, подобные комбинации , являются несовместными событиями и нам безразлично, в какой именно последовательности появиться событие и в какой последовательности появиться противоположное ему событие , то, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим:

.

Полученная формула носит название формулы Бернулли.

Так как события, состоящие в различном числе появления события в серии из испытаний, несовместны и образуют полную группу, то

Члены суммы совпадают с членами разложения бинома

.

В связи с этим распределение вероятностей называют биномиальным распределением.

Число , которому при заданном соответствует максимальная биномиальная вероятность называется наивероятнейшим числом появления события . При заданных и это число определяется неравенством

Если число не является целым, то равно целой части этого числа, если же - целое число, то имеет два значения

Вероятность , где , того, что в опытах событие появится хотя бы один раз, определяется формулой

.

Формула Бернулли – это частная теорема о повторении опытов.

Производится независимых опытов, каждый из которых имеет попарно несовместных и единственно возможных исходов с вероятностями , одинаковых во всех опытах . Для произвольных целых неотрицательных чисел обозначим вероятность того, что в опытах исход наступит раз, исход раз,…, исход раз, тогда

Эта формула определяет полиномиальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение является частным случаем полиномиального распределения при

Пример: Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок производит 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и 1 попадание в третью зону.

Так как в данном случае

то