Общая теорема о повторении опытов

Пусть опыты проводятся в неодинаковых условиях и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, производится ряд выстрелов по мишени в переменных условиях (скажем, при изменяющейся дальности), то вероятность попадания от выстрела к выстрелу может заметно меняться.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события, в таких условиях даёт общая теорема о повторении опытов.

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие , причём вероятность появления события в -том опыте равна , а вероятность не появления . Требуется найти вероятность того, что в результате опытов событие появиться ровно раз.

Обозначим событие, состоящее в том, что событие появиться раз в опытах. Представим как сумму произведений элементарных событий:

причём в каждое из произведений событие входит раз, событие - раз. Число таких комбинаций по-прежнему будет , но сами комбинации между собой будут уже неравновероятны.

Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим:

,

т.е. искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которые буквы с разными индексами входят раз, а буквы с разными индексами раз.

Составим произведение биномов:

или

,

где - произвольный параметр.

Найдём в этом произведении биномов коэффициент при . Для этого перемножим биномы и произведём приведение свободных членов. Очевидно, каждый член, содержащий , будет иметь в качестве коэффициента произведение букв с какими-то индексами и букв , а после приведения подобных членов коэффициент при будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа а, следовательно, с .

Функция называется производящей функцией.

Можно сформулировать общую теорему о повторении опытов.

Вероятность того, что событие в независимых опытах появиться ровно раз, равна коэффициенту при в выражении производящей функции. Можно записать общую теорему о повторении опытов в виде формулы:

.

Очевидно, частная теорема о повторении опытов вытекает из общей при

В этом случае производящая функция обращается в -ю степень бинома :

.

Раскрывая это выражение по формуле бинома, имеем:

,

откуда следует формула Бернулли.

Как и в общем, так и в частном случае сумма вероятностей равна единице:

Это следует из того, что события образуют полную группу несовместных событий.

Пример: Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно:

Найти вероятности ни одного, одного, двух, трёх и четырёх попаданий:

Составим производящую функцию:

,

Откуда