Теорема сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство: Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые изобразим в виде - точек.

- благоприятны

- благоприятны

Так как и несовместны, то событию благоприятны случаев

.

Получили равенство и теорема доказана.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Пример: - попадание при выстреле

- (противоположное событие) промах при выстреле

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример: В лотерее 1000 билетов; из них на один билет выпадает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – по 100 рублей, на 50 – 50 рублей, на 100 – 20 рублей. Некто покупает 1 билет. Найти вероятность выиграть не менее 50 рублей.

События: - выиграть не менее 50 рублей

- выиграть 50 рублей

- выиграть 100 рублей

- выиграть 500 рублей

В случае, когда события и совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой

Для трёх событий

В общем случае

Для произведения двух событий

Общая формула

Событие называется независимым от события , если вероятность не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Вероятность наступления события , вычисленная при условии наступления события , называется условной вероятностью события по отношению к событию и обозначается .

Если событие не зависит от события , то , если зависит, то .

Пример: - появление герба при бросании первой монеты;

- появление герба при бросании второй монеты.

Событие не зависит от события

Пример:

- появление карты красной масти при вынимании карты из колоды;

- появление бубнового туза при вынимании карты из колоды.

Событие зависит от события