Функции случайных величин

Пусть Х — случайная величина, а — обычная функция, область определения которой содержит множество значений случайной величины Х. Тогда — случайная величина, являющаяся функцией от случайной величины Х.

Говорят также, что Х есть аргумент функционально зависимой случайной величины Y.

Возникает задача: как, зная распределение случайного аргумента Х, определить закон распределения функции ? Если Х — дискретная случайная величина, то это сделать нетрудно; а если Х — непрерывная случайная величина, то это сложнее, и на этот счет справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть Х — непрерывная случайная величина с плотность распределения — монотонная дифференцируемая функция; тогда плотность распределения случайной величины есть

где функция обратная к .

Математическое ожидание случайной величины находится так: ,если случайная величина Х дискретна; , если Х непрерывна и ее плотность есть

Пример 6.3. За каждый процент перевыполнения плана полагается 40 тыс. руб., а за каждый процент недовыполнения заработок уменьшается на 30 тыс. руб., но не более, чем на 100 тыс. руб. Найти ожидаемый размер премии, если прогноз выполнения плана следующий:

0,0,1	0,02	0,03	0,2	0,2	0,2	0,2	0,14

Каков ожидаемый размер премии, если известно, что план выполнен?

Решение. Найдем ожидаемый размер премии Y. Это есть функция от процента выполнения плана. К прогнозу выполнения плана снизу пристраиваем еще одну строку значений Y (тыс. руб.)

0,01	0,02	0,03	0,2	0,2	0,2	0,2	0,14
-100	-90	-60	-30

Имеем

тыс. руб.

В заключении отметит, что зависимость между случайными величинами подробно будет рассмотрена позже.