Закон больших чисел

Установлено, что при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Под законом больших чисел понимается ряд математических теорем (теорема Чебышева, теорема Пуассона, теорема Бернулли), в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. В основе доказательств этих теорем используются неравенства Маркова и Чебышева.

Теорема (неравенство Маркова). Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание, то для любого положительного числа верно неравенство

.

Теорема (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство

.

Теорема Чебышева. Если случайные величины независимы, имеют математические ожидания и дисперсии , ограниченные одним и тем же числом С, то для любого числа выполняется неравенство

.

Отсюда следует, что

.

Если все случайные величины ( 2, 3, …, п) имеют одно и то же математическое ожидание ( 2, 3, …, п), то неравенство принимает вид

.

Переходя к пределу при , отсюда получают

.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то вероятность того, что отклонение частоты от вероятности р по модулю не превзойдет числа , больше, чем разность , то есть

.

Отсюда следует, что

.

Пример 1. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу, что данный мотор не прослужит более 20 лет.

Решение. Введем случайную величину Х – срок службы мотора. Из условия задачи следует, что . Для оценки вероятности используем неравенство Маркова :

.

Таким образом, вероятность того, что мотор прослужит более 20 лет, превышает 0,8.

Пример 2. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 руб., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сберегательного банка?

Решение. Пусть случайная величина Х – величина случайно взятого вклада, а п – число всех вкладчиков. Тогда средняя величина вклада , а . Используя неравенство Маркова, получаем

,

или

.

Отсюда

то есть число вкладчиков данного сберегательного банка не превышает 1000.

Пример 3. Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Определить вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 200.

Решение. Так как число включенных ламп – это случайная величина, распределенная по биномиальному закону, то

,

.

Определим искомую вероятность, используя неравенство Чебышева :

.

Пример 4. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания по модулю будет меньше трех средних квадратических отклонений этой величины.

Решение. Оценим вероятность, используя неравенство Чебышева. Так как по условию задачи , а , то

.

Знаем, что в случае нормального распределения эта вероятность равна 0,9973, что не противоречит полученному результату.

Пример 5. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по абсолютной величине меньше, чем на 5 часов, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения любой лампы в каждом ящике меньше 7 часов.

Решение. Введем случайные величины – продолжительность горения электролампы, взятой из i -го ящика. По условию задачи известно, что дисперсия . Очевидно, что средняя продолжительность горения ламп в выборке , а средняя продолжительность горения ламп во всей партии . Оценим искомую вероятность, используя теорему Чебышева:

.

.

Пример 6. Пусть вероятность того, что покупателю обувного магазина необходима обувь 45 размера, равна 0,15. Оценить границы числа покупателей среди 2000 побывавших в магазине, которым нужна такая обувь, если эти границы надо гарантировать с вероятностью 0,98.

Решение. Если т – число покупателей, которым нужна обувь 45-го размера, то используем теорему Бернулли:

,

,

отсюда

Тогда

,

Таким образом, можно гарантировать с вероятностью 0,98, что из 2000 покупателей, побывавших в магазине, число покупателей, которым нужна обувь 45 размера, заключено в границах от 180 до 420.