![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 1. Нормальное распределение непрерывной случайной величины задано функцией плотности
.
1) Определить математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Таблица 7 – Частные виды распределений непрерывных случайных величин
Название распределения | Вид функции плотности | Вид функции распределения | Вероятность попадания в интервал ![]() | Числовые характеристики |
Нормальное распределение | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Показательное распределение | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
Равномерное распределение | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
2) Построить схематически график функции плотности.
3) Записать функцию распределения и построить ее график.
Решение. 1) Функция плотности для нормального распределения имеет вид
.
Отсюда видно, что математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение
.
2) График функции плотности изображен на рисунке 23.
у
|
|
х
а
Рисунок 23
Таблица 8 – Основные точки графика функции
х | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Тогда график заданной функции изображен на рисунке 24.
у
|
|
–14 –8 –5 –2 4 х
Рисунок 24
3) Функция распределения нормального закона имеет вид
.
Тогда для нашего случая
,
график этой функции изображен на рисунке 25.
у
–5 0 х
Рисунок 25
Пример 2. Вес подавляющего числа плодов находится в интервале от 70 до 100 г. Считая вес плодов нормально распределенной случайной величиной, найти:
1) процент плодов, вес которых находится в интервале от 75 до 95 г,
2) величину, которую превзойдет вес 90% плодов.
Решение. 1) Введем непрерывную случайную величину Х – вес плода. Так как Х имеет нормальное распределение, то справедлива формула
.
Сначала найдем параметры а и . Из условия задачи следует, что с большой вероятностью Х находится в интервале от 70 до 100 г. Используя «правило трех сигм», имеем:
Решая систему уравнений, получаем г,
г (здесь
– средний вес плода).
Эту задачу можно решить, используя формулу вероятности заданного отклонения
,
так как интервал (75; 95) симметричен относительно , а
.
.
То есть 95% плодов имеют вес, находящийся в интервале от 75 до 95 г.
2) Обозначим А – величина, которую превзойдет вес 90% плодов. Тогда
(вместо максимального веса плода верхнюю границу изменения Х можно принять равной , так как на результат это практически не влияет).
Это уравнение удобнее представить в виде
.
Учитывая, что функция Лапласа является нечетной, то есть , получаем
.
По таблице значений функции Лапласа находим
90% плодов будут иметь вес больше 79 г.
Пример 3. Норма высева семян на 1 гектар 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг.
1) Найти допуск, обеспечивающий нормальный посев на 1 га с гарантией 95%.
2) Определить количество семян, обеспечивающих нормальный посев на площади 40 га с гарантией 95%.
Решение. 1) Введем случайную величину Х (кг) – фактический расход семян на 1 га. Из условия задачи кг (среднее значение или норма),
кг. Под допуском
понимают величину отклонения фактического значения от нормы. Найдем
из условия
. Так как справедлива формула
, то
По таблице значений функции Лапласа находим
(кг) – искомый допуск.
То есть фактический расход семян с вероятностью 0,95 будет заключен в интервале
2) Введем случайные величины:
– фактический расход семян на первом гектаре;
– фактический расход семян на втором гектаре;
………
– фактический расход семян на сороковом гектаре;
Х – фактический расход семян на 40 гектарах.
Тогда
.
Используем свойства математического ожидания и дисперсии:
,
(кг),
(кг).
,
(кг 2),
(кг 2),
Отсюда (кг).
По условию задачи , здесь
,
. Аналогично пункту 1, получим
отсюда
(кг).
Таким образом, фактический расход семян, обеспечивающих нормальный посев на площади 40 га с гарантией 95%, будет заключен в интервале
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1381 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!